Calcul de 1/71 en base 31+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 31+71n se regroupent elles en cette série ?

1-31-38-42-24-34-60-14-8-35-20-52-50-59-54-41-64-67-18-61-45-46-6-44-15-39-2-62-5-13-48-68-49-28-16===70-40-33-29-47-37-11-57-63-36-51-19-21-12-17-30-7-4-53-10-26-25-65-27-56-32-69-9-66-58-23-3-22-43-55

Calculons 1/71 en base 31+71n (31, 102, 173, ...) :

1/71 en base 31 = 0,0-13-16-18-10-14-26-6-3-15-8-22-21-25-23-17-27-29-7-26-19-20-2-19-6-17-0-27-2-5-20-29-21-12-6===30-17-14-12-20-16-4-24-27-15-22-8-9-5-7-13-3-1-23-4-11-10-28-11-24-13-30-3-28-25-10-1-9-18-24...

1/71 en base 102 = 0,1-44-54-60-34-48-86-20-11-50-28-74-71-84-77-58-91-96-25-87-64-66-8-63-21-56-2-89-7-18-68-97-70-40-22===100-57-47-41-67-53-15-81-90-51-73-27-30-17-24-43-10-5-76-14-37-35-93-38-80-45-99-12-94-83-33-4-31-61-79...

1/71 en base 173 = 0,2-75-92-102-58-82-146-34-19-85-48-126-121-143-131-99-155-163-43-148-109-112-14-107-36-95-4-151-12-31-116-165-119-68-38===170-97-80-70-114-90-26-138-153-87-124-46-51-29-41-73-17-9-129-24-63-60-158-65-136-77-168-21-160-141-56-7-53-104-134...

Et de manière générale en base 31+71n :

[n][13+31n][16+38n][18+42n][10+24n][14+34n][26+60n][6+14n][3+8n][15+35n][8+20n][22+52n][21+50n][25+59n][23+54n][17+41n][27+64n][29+67n][7+18n][26+61n][19+45n][20+46n][2+6n][19+44n][6+15n][17+39n][2n][27+62n][2+5n][5+13n][20+48n][29+68n][21+49n][12+28n][6+16n]===[30+70n][17+40n][14+33n][12+29n][20+47n][16+37n][4+11n][24+57n][27+63n][15+36n][22+51n][8+19n][9+21n][5+12n][7+17n][13+30n][3+7n][1+4n][23+53n][4+10n][11+26n][10+25n][28+65n][11+27n][24+56n][13+32n][30+69n][3+9n][28+66n][25+58n][10+23n][1+3n][9+22n][18+43n][24+55n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 31 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 55+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 55+71n. La série est alors :

1-55-43-22-3-23-58-66-9-69-32-56-27-65-25-26-10-53-4-7-30-17-12-21-19-51-36-63-57-11-37-47-29-33-40===70-16-28-49-68-48-13-5-62-2-39-15-44-6-46-45-61-18-67-64-41-54-59-50-52-20-35-8-14-60-34-24-42-38-31

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 31+71n.

Calculons 1/71 en base : 55, 126, 197, ...(55+71n) :

1/71 en base 55 = 0,0-42-33-17-2-17-44-51-6-53-24-43-20-50-19-20-7-41-3-5-23-13-9-16-14-39-27-48-44-8-28-36-22-25-30===54-12-21-37-52-37-10-3-48-1-30-11-34-4-35-34-47-13-51-49-31-41-45-38-40-15-27-6-10-46-26-18-32-29-24...

1/71 en base 126 = 0,1-97-76-39-5-40-102-117-15-122-56-99-47-115-44-46-17-94-7-12-53-30-21-37-33-90-63-111-101-19-65-83-51-58-70===124-28-49-86-120-85-23-8-110-3-69-26-78-10-81-79-108-31-118-113-72-95-104-88-92-35-62-14-24-106-60-42-74-67-55...

1/71 en base 197 = 0,2-152-119-61-8-63-160-183-24-191-88-155-74-180-69-72-27-147-11-19-83-47-33-58-52-141-99-174-158-30-102-130-80-91-110===194-44-77-135-188-133-36-13-172-5-108-41-122-16-127-124-169-49-185-177-113-149-163-138-144-55-97-22-38-166-94-66-116-105-86...

Et de manière générale en base 55+71n :

[n][42+55n][33+43n][17+22n][2+3n][17+23n][44+58n][51+66n][6+9n][53+69n][24+32n][43+56n][20+27n][50+65n][19+25n][20+26n][7+10n][41+53n][3+4n][5+7n][23+30n][13+17n][9+12n][16+21n][14+19n][39+51n][27+36n][48+63n][44+57n][8+11n][28+37n][36+47n][22+29n][25+33n][30+40n]===[54+70n][12+16n][21+28n][37+49n][52+68n][37+48n][10+13n][3+5n][48+62n][1+2n][30+39n][11+15n][34+44n][4+6n][35+46n][34+45n][47+61n][13+18n][51+67n][49+64n][31+41n][41+54n][45+59n][38+50n][40+52n][15+20n][27+35n][6+8n][10+14n][46+60n][26+34n][18+24n][32+42n][29+38n][24+31n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 55 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 31+71n.

Constatons que 31x55 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71