Calcul de 1/71 en base 35+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 35+71n se regroupent elles en cette série ?

1-35-18-62-40-51-10-66-38-52-45-13-29-21-25-23-24-59-6-68-37-17-27-22-60-41-15-28-57-7-32-55-8-67-2===70-36-53-9-31-20-61-5-33-19-26-58-42-50-46-48-47-12-65-3-34-54-44-49-11-30-56-43-14-64-39-16-63-4-69

Calculons 1/71 en base 35+71n (35, 106, 177, ...) :

1/71 en base 35 = 0,0-17-8-30-19-25-4-32-18-25-22-6-14-10-12-11-11-29-2-33-18-8-13-10-29-20-7-13-28-3-15-27-3-33-0===34-17-26-4-15-9-30-2-16-9-12-28-20-24-22-23-23-5-32-1-16-26-21-24-5-14-27-21-6-31-19-7-31-1-34...

1/71 en base 106 = 0,1-52-26-92-59-76-14-98-56-77-67-19-43-31-37-34-35-88-8-101-55-25-40-32-89-61-22-41-85-10-47-82-11-100-2===104-53-79-13-46-29-91-7-49-28-38-86-62-74-68-71-70-17-97-4-50-80-65-73-16-44-83-64-20-95-58-23-94-5-103...

1/71 en base 177 = 0,2-87-44-154-99-127-24-164-94-129-112-32-72-52-62-57-59-147-14-169-92-42-67-54-149-102-37-69-142-17-79-137-19-167-4===174-89-132-22-77-49-152-12-82-47-64-144-104-124-114-119-117-29-162-7-84-134-109-122-27-74-139-107-34-159-97-39-157-9-172...

Et de manière générale en base 35+71n :

[n][17+35n][8+18n][30+62n][19+40n][25+51n][4+10n][32+66n][18+38n][25+52n][22+45n][6+13n][14+29n][10+21n][12+25n][11+23n][11+24n][29+59n][2+6n][33+68n][18+37n][8+17n][13+27n][10+22n][29+60n][20+41n][7+15n][13+28n][28+57n][3+7n][15+32n][27+55n][3+8n][33+67n][2n]===[34+70n][17+36n][26+53n][4+9n][15+31n][9+20n][30+61n][2+5n][16+33n][9+19n][12+26n][28+58n][20+42n][24+50n][22+46n][23+48n][23+47n][5+12n][32+65n][1+3n][16+34n][26+54n][21+44n][24+49n][5+11n][14+30n][27+56n][21+43n][6+14n][31+64n][19+39n][7+16n][31+63n][1+4n][34+69n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 69+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 69+71n. La série est alors :

1-69-4-63-16-39-64-14-43-56-30-11-49-44-54-34-3-65-12-47-48-46-50-42-58-26-19-33-5-61-20-31-9-53-36===70-2-67-8-55-32-7-57-28-15-41-60-22-27-17-37-68-6-59-24-23-25-21-29-13-45-52-38-66-10-51-40-62-18-35

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 35+71n.

Calculons 1/71 en base : 69, 140, 211, ...(69+71n) :

1/71 en base 69 = 0,0-67-3-61-15-37-62-13-41-54-29-10-47-42-52-33-2-63-11-45-46-44-48-40-56-25-18-32-4-59-19-30-8-51-34===68-1-65-7-53-31-6-55-27-14-39-58-21-26-16-35-66-5-57-23-22-24-20-28-12-43-50-36-64-9-49-38-60-17-34...

1/71 en base 140 = 0,1-136-7-124-31-76-126-27-84-110-59-21-96-86-106-67-5-128-23-92-94-90-98-82-114-51-37-65-9-120-39-61-17-104-70===138-3-132-15-108-63-13-112-55-29-80-118-43-53-33-72-134-11-116-47-45-49-41-57-25-88-102-74-130-19-100-78-122-35-69...

1/71 en base 211 = 0,2-205-11-187-47-115-190-41-127-166-89-32-145-130-160-101-8-193-35-139-142-136-148-124-172-77-56-98-14-181-59-92-26-157-106===208-5-199-23-163-95-20-169-83-44-121-178-65-80-50-109-202-17-175-71-68-74-62-86-38-133-154-112-196-29-151-118-184-53-104...

Et de manière générale en base 69+71n :

[n][67+69n][3+4n][61+63n][15+16n][37+39n][62+64n][13+14n][41+43n][54+56n][29+30n][10+11n][47+49n][42+44n][52+54n][33+34n][2+3n][63+65n][11+12n][45+47n][46+48n][44+46n][48+50n][40+42n][56+58n][25+26n][18+19n][32+33n][4+5n][59+61n][19+20n][30+31n][8+9n][51+53n][34+36n]===[68+70n][1+2n][65+67n][7+8n][53+55n][31+32n][6+7n][55+57n][27+28n][14+15n][39+41n][58+60n][21+22n][26+27n][16+17n][35+37n][66+68n][5+6n][57+59n][23+24n][22+23n][24+25n][20+21n][28+29n][12+13n][43+45n][50+52n][36+38n][64+66n][9+10n][49+51n][38+40n][60+62n][17+18n][34+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 69 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 35+71n.

Constatons que 35x69 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71