Calcul de 1/71 en base 47+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 47+71n se regroupent elles en cette série ?

1-47-8-21-64-26-15-66-49-31-37-35-12-67-25-39-58-28-38-11-20-17-18-65-2-23-16-42-57-52-30-61-27-62-3===70-24-63-50-7-45-56-5-22-40-34-36-59-4-46-32-13-43-33-60-51-54-53-6-69-48-55-29-14-19-41-10-44-9-68

Calculons 1/71 en base 47+71n (47, 118, 189, ...) :

1/71 en base 47 = 0,0-31-5-13-42-17-9-43-32-20-24-23-7-44-16-25-38-18-25-7-13-11-11-43-1-15-10-27-37-34-19-40-17-41-1===46-15-41-33-4-29-37-3-14-26-22-23-39-2-30-21-8-28-21-39-33-35-35-3-45-31-36-19-9-12-27-6-29-5-45...

1/71 en base 118 = 0,1-78-13-34-106-43-24-109-81-51-61-58-19-111-41-64-96-46-63-18-33-28-29-108-3-38-26-69-94-86-49-101-44-103-4===116-39-104-83-11-74-93-8-36-66-56-59-98-6-76-53-21-71-54-99-84-89-88-9-114-79-91-48-23-31-68-16-73-14-113...

1/71 en base 189 = 0,2-125-21-55-170-69-39-175-130-82-98-93-31-178-66-103-154-74-101-29-53-45-47-173-5-61-42-111-151-138-79-162-71-165-7===186-63-167-133-18-119-149-13-58-106-90-95-157-10-122-85-34-114-87-159-135-143-141-15-183-127-146-77-37-50-109-26-117-23-181...

Et de manière générale en base 47+71n :

[n][31+47n][5+8n][13+21n][42+64n][17+26n][9+15n][43+66n][32+49n][20+31n][24+37n][23+35n][7+12n][44+67n][16+25n][25+39n][38+58n][18+28n][25+38n][7+11n][13+20n][11+17n][11+18n][43+65n][1+2n][15+23n][10+16n][27+42n][37+57n][34+52n][19+30n][40+61n][17+27n][41+62n][1+3n]===[46+70n][15+24n][41+63n][33+50n][4+7n][29+45n][37+56n][3+5n][14+22n][26+40n][22+34n][23+36n][39+59n][2+4n][30+46n][21+32n][8+13n][28+43n][21+33n][39+60n][33+51n][35+54n][35+53n][3+6n][45+69n][31+48n][36+55n][19+29n][9+14n][12+19n][27+41n][6+10n][29+44n][5+9n][45+68n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 47 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 68+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 68+71n. La série est alors :

1-68-9-44-10-41-19-14-29-55-48-69-6-53-54-51-60-33-43-13-32-46-4-59-36-34-40-22-5-56-45-7-50-63-24===70-3-62-27-61-30-52-57-42-16-23-2-65-18-17-20-11-38-28-58-39-25-67-12-35-37-31-49-66-15-26-64-21-8-47

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 47+71n.

Calculons 1/71 en base : 68, 139, 210, ...(68+71n) :

1/71 en base 68 = 0,0-65-8-42-9-39-18-13-27-52-45-66-5-50-51-48-57-31-41-12-30-44-3-56-34-32-38-21-4-53-43-6-47-60-22===67-2-59-25-58-28-49-54-40-15-22-1-62-17-16-19-10-36-26-55-37-23-64-11-33-35-29-46-63-14-24-61-20-7-45...

1/71 en base 139 = 0,1-133-17-86-19-80-37-27-56-107-93-135-11-103-105-99-117-64-84-25-62-90-7-115-70-66-78-43-9-109-88-13-97-123-46===137-5-121-52-119-58-101-111-82-31-45-3-127-35-33-39-21-74-54-113-76-48-131-23-68-72-60-95-129-29-50-125-41-15-92...

1/71 en base 210 = 0,2-201-26-130-29-121-56-41-85-162-141-204-17-156-159-150-177-97-127-38-94-136-11-174-106-100-118-65-14-165-133-20-147-186-70===207-8-183-79-180-88-153-168-124-47-68-5-192-53-50-59-32-112-82-171-115-73-198-35-103-109-91-144-195-44-76-189-62-23-139...

Et de manière générale en base 68+71n :

[n][65+68n][8+9n][42+44n][9+10n][39+41n][18+19n][13+14n][27+29n][52+55n][45+48n][66+69n][5+6n][50+53n][51+54n][48+51n][57+60n][31+33n][41+43n][12+13n][30+32n][44+46n][3+4n][56+59n][34+36n][32+34n][38+40n][21+22n][4+5n][53+56n][43+45n][6+7n][47+50n][60+63n][22+24n]===[67+70n][2+3n][59+62n][25+27n][58+61n][28+30n][49+52n][54+57n][40+42n][15+16n][22+23n][1+2n][62+65n][17+18n][16+17n][19+20n][10+11n][36+38n][26+28n][55+58n][37+39n][23+25n][64+67n][11+12n][33+35n][35+37n][29+31n][46+49n][63+66n][14+15n][24+26n][61+64n][20+21n][7+8n][45+47n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 68 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 47+71n.

Constatons que 47x68 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71