Calcul de 1/71 en base 52+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 52+71n se regroupent elles en cette série ?

1-52-6-28-36-26-3-14-18-13-37-7-9-42-54-39-40-21-27-55-20-46-49-63-10-23-60-67-5-47-30-69-38-59-15===70-19-65-43-35-45-68-57-53-58-34-64-62-29-17-32-31-50-44-16-51-25-22-8-61-48-11-4-66-24-41-2-33-12-56

Calculons 1/71 en base 52+71n (52, 123, 194, ...) :

1/71 en base 52 = 0,0-38-4-20-26-19-2-10-13-9-27-5-6-30-39-28-29-15-19-40-14-33-35-46-7-16-43-49-3-34-21-50-27-43-10===51-13-47-31-25-32-49-41-38-42-24-46-45-21-12-23-22-36-32-11-37-18-16-5-44-35-8-2-48-17-30-1-24-8-41...

1/71 en base 123 = 0,1-90-10-48-62-45-5-24-31-22-64-12-15-72-93-67-69-36-46-95-34-79-84-109-17-39-103-116-8-81-51-119-65-102-25===121-32-112-74-60-77-117-98-91-100-58-110-107-50-29-55-53-86-76-27-88-43-38-13-105-83-19-6-114-41-71-3-57-20-97...

1/71 en base 194 = 0,2-142-16-76-98-71-8-38-49-35-101-19-24-114-147-106-109-57-73-150-54-125-133-172-27-62-163-183-13-128-81-188-103-161-40===191-51-177-117-95-122-185-155-144-158-92-174-169-79-46-87-84-136-120-43-139-68-60-21-166-131-30-10-180-65-112-5-90-32-153...

Et de manière générale en base 52+71n :

[n][38+52n][4+6n][20+28n][26+36n][19+26n][2+3n][10+14n][13+18n][9+13n][27+37n][5+7n][6+9n][30+42n][39+54n][28+39n][29+40n][15+21n][19+27n][40+55n][14+20n][33+46n][35+49n][46+63n][7+10n][16+23n][43+60n][49+67n][3+5n][34+47n][21+30n][50+69n][27+38n][43+59n][10+15n]===[51+70n][13+19n][47+65n][31+43n][25+35n][32+45n][49+68n][41+57n][38+53n][42+58n][24+34n][46+64n][45+62n][21+29n][12+17n][23+32n][22+31n][36+50n][32+44n][11+16n][37+51n][18+25n][16+22n][5+8n][44+61n][35+48n][8+11n][2+4n][48+66n][17+24n][30+41n][1+2n][24+33n][8+12n][41+56n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 52 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 56+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 56+71n. La série est alors :

1-56-12-33-2-41-24-66-4-11-48-61-8-22-25-51-16-44-50-31-32-17-29-62-64-34-58-53-57-68-45-35-43-65-19===70-15-59-38-69-30-47-5-67-60-23-10-63-49-46-20-55-27-21-40-39-54-42-9-7-37-13-18-14-3-26-36-28-6-52

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 52+71n.

Calculons 1/71 en base : 56, 127, 198, ...(56+71n) :

1/71 en base 56 = 0,0-44-9-26-1-32-18-52-3-8-37-48-6-17-19-40-12-34-39-24-25-13-22-48-50-26-45-41-44-53-35-27-33-51-14===55-11-46-29-54-23-37-3-52-47-18-7-49-38-36-15-43-21-16-31-30-42-33-7-5-29-10-14-11-2-20-28-22-4-41...

1/71 en base 127 = 0,1-100-21-59-3-73-42-118-7-19-85-109-14-39-44-91-28-78-89-55-57-30-51-110-114-60-103-94-101-121-80-62-76-116-33===125-26-105-67-123-53-84-8-119-107-41-17-112-87-82-35-98-48-37-71-69-96-75-16-12-66-23-32-25-5-46-64-50-10-93...

1/71 en base 198 = 0,2-156-33-92-5-114-66-184-11-30-133-170-22-61-69-142-44-122-139-86-89-47-80-172-178-94-161-147-158-189-125-97-119-181-52===195-41-164-105-192-83-131-13-186-167-64-27-175-136-128-55-153-75-58-111-108-150-117-25-19-103-36-50-39-8-72-100-78-16-145...

Et de manière générale en base 56+71n :

[n][44+56n][9+12n][26+33n][1+2n][32+41n][18+24n][52+66n][3+4n][8+11n][37+48n][48+61n][6+8n][17+22n][19+25n][40+51n][12+16n][34+44n][39+50n][24+31n][25+32n][13+17n][22+29n][48+62n][50+64n][26+34n][45+58n][41+53n][44+57n][53+68n][35+45n][27+35n][33+43n][51+65n][14+19n]===[55+70n][11+15n][46+59n][29+38n][54+69n][23+30n][37+47n][3+5n][52+67n][47+60n][18+23n][7+10n][49+63n][38+49n][36+46n][15+20n][43+55n][21+27n][16+21n][31+40n][30+39n][42+54n][33+42n][7+9n][5+7n][29+37n][10+13n][14+18n][11+14n][2+3n][20+26n][28+36n][22+28n][4+6n][41+52n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 56 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 52+71n.

Constatons que 52x56 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71