Calcul de 1/71 en base 53+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 53+71n se regroupent elles en cette série ?

1-53-40-61-38-26-29-46-24-65-37-44-60-56-57-39-8-69-36-62-20-66-19-13-50-23-12-68-54-22-30-28-64-55-4===70-18-31-10-33-45-42-25-47-6-34-27-11-15-14-32-63-2-35-9-51-5-52-58-21-48-59-3-17-49-41-43-7-16-67

Calculons 1/71 en base 53+71n (53, 124, 195, ...) :

1/71 en base 53 = 0,0-39-29-45-28-19-21-34-17-48-27-32-44-41-42-29-5-51-26-46-14-49-14-9-37-17-8-50-40-16-22-20-47-41-2===52-13-23-7-24-33-31-18-35-4-25-20-8-11-10-23-47-1-26-6-38-3-38-43-15-35-44-2-12-36-30-32-5-11-50...

1/71 en base 124 = 0,1-92-69-106-66-45-50-80-41-113-64-76-104-97-99-68-13-120-62-108-34-115-33-22-87-40-20-118-94-38-52-48-111-96-6===122-31-54-17-57-78-73-43-82-10-59-47-19-26-24-55-110-3-61-15-89-8-90-101-36-83-103-5-29-85-71-75-12-27-117...

1/71 en base 195 = 0,2-145-109-167-104-71-79-126-65-178-101-120-164-153-156-107-21-189-98-170-54-181-52-35-137-63-32-186-148-60-82-76-175-151-10===192-49-85-27-90-123-115-68-129-16-93-74-30-41-38-87-173-5-96-24-140-13-142-159-57-131-162-8-46-134-112-118-19-43-184...

Et de manière générale en base 53+71n :

[n][39+53n][29+40n][45+61n][28+38n][19+26n][21+29n][34+46n][17+24n][48+65n][27+37n][32+44n][44+60n][41+56n][42+57n][29+39n][5+8n][51+69n][26+36n][46+62n][14+20n][49+66n][14+19n][9+13n][37+50n][17+23n][8+12n][50+68n][40+54n][16+22n][22+30n][20+28n][47+64n][41+55n][2+4n]===[52+70n][13+18n][23+31n][7+10n][24+33n][33+45n][31+42n][18+25n][35+47n][4+6n][25+34n][20+27n][8+11n][11+15n][10+14n][23+32n][47+63n][1+2n][26+35n][6+9n][38+51n][3+5n][38+52n][43+58n][15+21n][35+48n][44+59n][2+3n][12+17n][36+49n][30+41n][32+43n][5+7n][11+16n][50+67n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 53 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 67+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 67+71n. La série est alors :

1-67-16-7-43-41-49-17-3-59-48-21-58-52-5-51-9-35-2-63-32-14-15-11-27-34-6-47-25-42-45-33-10-31-18===70-4-55-64-28-30-22-54-68-12-23-50-13-19-66-20-62-36-69-8-39-57-56-60-44-37-65-24-46-29-26-38-61-40-53

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 53+71n.

Calculons 1/71 en base : 67, 138, 209, ...(67+71n) :

1/71 en base 67 = 0,0-63-15-6-40-38-46-16-2-55-45-19-54-49-4-48-8-33-1-59-30-13-14-10-25-32-5-44-23-39-42-31-9-29-16===66-3-51-60-26-28-20-50-64-11-21-47-12-17-62-18-58-33-65-7-36-53-52-56-41-34-61-22-43-27-24-35-57-37-50...

1/71 en base 138 = 0,1-130-31-13-83-79-95-33-5-114-93-40-112-101-9-99-17-68-3-122-62-27-29-21-52-66-11-91-48-81-87-64-19-60-34===136-7-106-124-54-58-42-104-132-23-44-97-25-36-128-38-120-69-134-15-75-110-108-116-85-71-126-46-89-56-50-73-118-77-103...

1/71 en base 209 = 0,2-197-47-20-126-120-144-50-8-173-141-61-170-153-14-150-26-103-5-185-94-41-44-32-79-100-17-138-73-123-132-97-29-91-52===206-11-161-188-82-88-64-158-200-35-67-147-38-55-194-58-182-105-203-23-114-167-164-176-129-108-191-70-135-85-76-111-179-117-156...

Et de manière générale en base 67+71n :

[n][63+67n][15+16n][6+7n][40+43n][38+41n][46+49n][16+17n][2+3n][55+59n][45+48n][19+21n][54+58n][49+52n][4+5n][48+51n][8+9n][33+35n][1+2n][59+63n][30+32n][13+14n][14+15n][10+11n][25+27n][32+34n][5+6n][44+47n][23+25n][39+42n][42+45n][31+33n][9+10n][29+31n][16+18n]===[66+70n][3+4n][51+55n][60+64n][26+28n][28+30n][20+22n][50+54n][64+68n][11+12n][21+23n][47+50n][12+13n][17+19n][62+66n][18+20n][58+62n][33+36n][65+69n][7+8n][36+39n][53+57n][52+56n][56+60n][41+44n][34+37n][61+65n][22+24n][43+46n][27+29n][24+26n][35+38n][57+61n][37+40n][50+53n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 67 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 53+71n.

Constatons que 53x67 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71