Calcul de 1/71 en base 59+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 59+71n se regroupent elles en cette série ?

1-59-2-47-4-23-8-46-16-21-32-42-64-13-57-26-43-52-15-33-30-66-60-61-49-51-27-31-54-62-37-53-3-35-6===70-12-69-24-67-48-63-25-55-50-39-29-7-58-14-45-28-19-56-38-41-5-11-10-22-20-44-40-17-9-34-18-68-36-65

Calculons 1/71 en base 59+71n (59, 130, 201, ...) :

1/71 en base 59 = 0,0-49-1-39-3-19-6-38-13-17-26-34-53-10-47-21-35-43-12-27-24-54-49-50-40-42-22-25-44-51-30-44-2-29-4===58-9-57-19-55-39-52-20-45-41-32-24-5-48-11-37-23-15-46-31-34-4-9-8-18-16-36-33-14-7-28-14-56-29-54...

1/71 en base 130 = 0,1-108-3-86-7-42-14-84-29-38-58-76-117-23-104-47-78-95-27-60-54-120-109-111-89-93-49-56-98-113-67-97-5-64-10===128-21-126-43-122-87-115-45-100-91-71-53-12-106-25-82-51-34-102-69-75-9-20-18-40-36-80-73-31-16-62-32-124-65-119...

1/71 en base 201 = 0,2-167-5-133-11-65-22-130-45-59-90-118-181-36-161-73-121-147-42-93-84-186-169-172-138-144-76-87-152-175-104-150-8-99-16===198-33-195-67-189-135-178-70-155-141-110-82-19-164-39-127-79-53-158-107-116-14-31-28-62-56-124-113-48-25-96-50-192-101-184...

Et de manière générale en base 59+71n :

[n][49+59n][1+2n][39+47n][3+4n][19+23n][6+8n][38+46n][13+16n][17+21n][26+32n][34+42n][53+64n][10+13n][47+57n][21+26n][35+43n][43+52n][12+15n][27+33n][24+30n][54+66n][49+60n][50+61n][40+49n][42+51n][22+27n][25+31n][44+54n][51+62n][30+37n][44+53n][2+3n][29+35n][4+6n]===[58+70n][9+12n][57+69n][19+24n][55+67n][39+48n][52+63n][20+25n][45+55n][41+50n][32+39n][24+29n][5+7n][48+58n][11+14n][37+45n][23+28n][15+19n][46+56n][31+38n][34+41n][4+5n][9+11n][8+10n][18+22n][16+20n][36+44n][33+40n][14+17n][7+9n][28+34n][14+18n][56+68n][29+36n][54+65n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 59 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 65+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 65+71n. La série est alors :

1-65-36-68-18-34-9-17-40-44-20-22-10-11-5-41-38-56-19-28-45-14-58-7-29-39-50-55-25-63-48-67-24-69-12===70-6-35-3-53-37-62-54-31-27-51-49-61-60-66-30-33-15-52-43-26-57-13-64-42-32-21-16-46-8-23-4-47-2-59

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 59+71n.

Calculons 1/71 en base : 65, 136, 207, ...(65+71n) :

1/71 en base 65 = 0,0-59-32-62-16-31-8-15-36-40-18-20-9-10-4-37-34-51-17-25-41-12-53-6-26-35-45-50-22-57-43-61-21-63-10===64-5-32-2-48-33-56-49-28-24-46-44-55-54-60-27-30-13-47-39-23-52-11-58-38-29-19-14-42-7-21-3-43-1-54...

1/71 en base 136 = 0,1-124-68-130-34-65-17-32-76-84-38-42-19-21-9-78-72-107-36-53-86-26-111-13-55-74-95-105-47-120-91-128-45-132-22===134-11-67-5-101-70-118-103-59-51-97-93-116-114-126-57-63-28-99-82-49-109-24-122-80-61-40-30-88-15-44-7-90-3-113...

1/71 en base 207 = 0,2-189-104-198-52-99-26-49-116-128-58-64-29-32-14-119-110-163-55-81-131-40-169-20-84-113-145-160-72-183-139-195-69-201-34===204-17-102-8-154-107-180-157-90-78-148-142-177-174-192-87-96-43-151-125-75-166-37-186-122-93-61-46-134-23-67-11-137-5-172...

Et de manière générale en base 65+71n :

[n][59+65n][32+36n][62+68n][16+18n][31+34n][8+9n][15+17n][36+40n][40+44n][18+20n][20+22n][9+10n][10+11n][4+5n][37+41n][34+38n][51+56n][17+19n][25+28n][41+45n][12+14n][53+58n][6+7n][26+29n][35+39n][45+50n][50+55n][22+25n][57+63n][43+48n][61+67n][21+24n][63+69n][10+12n]===[64+70n][5+6n][32+35n][2+3n][48+53n][33+37n][56+62n][49+54n][28+31n][24+27n][46+51n][44+49n][55+61n][54+60n][60+66n][27+30n][30+33n][13+15n][47+52n][39+43n][23+26n][52+57n][11+13n][58+64n][38+42n][29+32n][19+21n][14+16n][42+46n][7+8n][21+23n][3+4n][43+47n][1+2n][54+59n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 65 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 59+71n.

Constatons que 59x65 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71