Calcul de 1/71 en base 62+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 62+71n se regroupent elles en cette série ?

1-62-10-52-29-23-6-17-60-28-32-67-36-31-5-26-50-47-3-44-30-14-16-69-18-51-38-13-25-59-37-22-15-7-8===70-9-61-19-42-48-65-54-11-43-39-4-35-40-66-45-21-24-68-27-41-57-55-2-53-20-33-58-46-12-34-49-56-64-63

Calculons 1/71 en base 62+71n (62, 133, 204, ...) :

1/71 en base 62 = 0,0-54-8-45-25-20-5-14-52-24-27-58-31-27-4-22-43-41-2-38-26-12-13-60-15-44-33-11-21-51-32-19-13-6-6===61-7-53-16-36-41-56-47-9-37-34-3-30-34-57-39-18-20-59-23-35-49-48-1-46-17-28-50-40-10-29-42-48-55-55...

1/71 en base 133 = 0,1-116-18-97-54-43-11-31-112-52-59-125-67-58-9-48-93-88-5-82-56-26-29-129-33-95-71-24-46-110-69-41-28-13-14===131-16-114-35-78-89-121-101-20-80-73-7-65-74-123-84-39-44-127-50-76-106-103-3-99-37-61-108-86-22-63-91-104-119-118...

1/71 en base 204 = 0,2-178-28-149-83-66-17-48-172-80-91-192-103-89-14-74-143-135-8-126-86-40-45-198-51-146-109-37-71-169-106-63-43-20-22===201-25-175-54-120-137-186-155-31-123-112-11-100-114-189-129-60-68-195-77-117-163-158-5-152-57-94-166-132-34-97-140-160-183-181...

Et de manière générale en base 62+71n :

[n][54+62n][8+10n][45+52n][25+29n][20+23n][5+6n][14+17n][52+60n][24+28n][27+32n][58+67n][31+36n][27+31n][4+5n][22+26n][43+50n][41+47n][2+3n][38+44n][26+30n][12+14n][13+16n][60+69n][15+18n][44+51n][33+38n][11+13n][21+25n][51+59n][32+37n][19+22n][13+15n][6+7n][6+8n]===[61+70n][7+9n][53+61n][16+19n][36+42n][41+48n][56+65n][47+54n][9+11n][37+43n][34+39n][3+4n][30+35n][34+40n][57+66n][39+45n][18+21n][20+24n][59+68n][23+27n][35+41n][49+57n][48+55n][1+2n][46+53n][17+20n][28+33n][50+58n][40+46n][10+12n][29+34n][42+49n][48+56n][55+64n][55+63n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 62 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 63+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 63+71n. La série est alors :

1-63-64-56-49-34-12-46-58-33-20-53-2-55-57-41-27-68-24-21-45-66-40-35-4-39-43-11-54-65-48-42-19-61-9===70-8-7-15-22-37-59-25-13-38-51-18-69-16-14-30-44-3-47-50-26-5-31-36-67-32-28-60-17-6-23-29-52-10-62

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 62+71n.

Calculons 1/71 en base : 63, 134, 205, ...(63+71n) :

1/71 en base 63 = 0,0-55-56-49-43-30-10-40-51-29-17-47-1-48-50-36-23-60-21-18-39-58-35-31-3-34-38-9-47-57-42-37-16-54-7===62-7-6-13-19-32-52-22-11-33-45-15-61-14-12-26-39-2-41-44-23-4-27-31-59-28-24-53-15-5-20-25-46-8-55...

1/71 en base 134 = 0,1-118-120-105-92-64-22-86-109-62-37-100-3-103-107-77-50-128-45-39-84-124-75-66-7-73-81-20-101-122-90-79-35-115-16===132-15-13-28-41-69-111-47-24-71-96-33-130-30-26-56-83-5-88-94-49-9-58-67-126-60-52-113-32-11-43-54-98-18-117...

1/71 en base 205 = 0,2-181-184-161-141-98-34-132-167-95-57-153-5-158-164-118-77-196-69-60-129-190-115-101-11-112-124-31-155-187-138-121-54-176-25===202-23-20-43-63-106-170-72-37-109-147-51-199-46-40-86-127-8-135-144-75-14-89-103-193-92-80-173-49-17-66-83-150-28-179...

Et de manière générale en base 63+71n :

[n][55+63n][56+64n][49+56n][43+49n][30+34n][10+12n][40+46n][51+58n][29+33n][17+20n][47+53n][1+2n][48+55n][50+57n][36+41n][23+27n][60+68n][21+24n][18+21n][39+45n][58+66n][35+40n][31+35n][3+4n][34+39n][38+43n][9+11n][47+54n][57+65n][42+48n][37+42n][16+19n][54+61n][7+9n]===[62+70n][7+8n][6+7n][13+15n][19+22n][32+37n][52+59n][22+25n][11+13n][33+38n][45+51n][15+18n][61+69n][14+16n][12+14n][26+30n][39+44n][2+3n][41+47n][44+50n][23+26n][4+5n][27+31n][31+36n][59+67n][28+32n][24+28n][53+60n][15+17n][5+6n][20+23n][25+29n][46+52n][8+10n][55+62n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 63 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 62+71n.

Constatons que 62x63 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71