Calcul de 1/73 en base 5+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 5+73n se regroupent elles en cette série ?

1-5-25-52-41-59-3-15-2-10-50-31-9-45-6-30-4-20-27-62-18-17-12-60-8-40-54-51-36-34-24-47-16-7-35-29===72-68-48-21-32-14-70-58-71-63-23-42-64-28-67-43-69-53-46-11-55-56-61-13-65-33-19-22-37-39-49-26-57-66-38-44

Calculons 1/73 en base 5+73n (5, 78, 151, ...) :

1/73 en base 5 = 0,001324010032030201141104023322131021===443120434412414243303340421122313423...

1/73 en base 78 = 0,1-5-26-55-43-63-3-16-2-10-53-33-9-48-6-32-4-21-28-66-19-18-12-64-8-42-57-54-38-36-25-50-17-7-37-30===76-72-51-22-34-14-74-61-75-67-24-44-68-29-71-45-73-56-49-11-58-59-65-13-69-35-20-23-39-41-52-27-60-70-40-47...

1/73 en base 151 = 0,2-10-51-107-84-122-6-31-4-20-103-64-18-93-12-62-8-41-55-128-37-35-24-124-16-82-111-105-74-70-49-97-33-14-72-59===148-140-99-43-66-28-144-119-146-130-47-86-132-57-138-88-142-109-95-22-113-115-126-26-134-68-39-45-76-80-101-53-117-136-78-91...

Et de manière générale en base 5+73n :

[n][5n][1+25n][3+52n][2+41n][4+59n][3n][1+15n][2n][10n][3+50n][2+31n][9n][3+45n][6n][2+30n][4n][1+20n][1+27n][4+62n][1+18n][1+17n][12n][4+60n][8n][2+40n][3+54n][3+51n][2+36n][2+34n][1+24n][3+47n][1+16n][7n][2+35n][1+29n]===[4+72n][4+68n][3+48n][1+21n][2+32n][14n][4+70n][3+58n][4+71n][4+63n][1+23n][2+42n][4+64n][1+28n][4+67n][2+43n][4+69n][3+53n][3+46n][11n][3+55n][3+56n][4+61n][13n][4+65n][2+33n][1+19n][1+22n][2+37n][2+39n][3+49n][1+26n][3+57n][4+66n][2+38n][3+44n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 44+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 44+73n. La série est alors :

1-44-38-66-57-26-49-39-37-22-19-33-65-13-61-56-55-11-46-53-69-43-67-28-64-42-23-63-71-58-70-14-32-21-48-68===72-29-35-7-16-47-24-34-36-51-54-40-8-60-12-17-18-62-27-20-4-30-6-45-9-31-50-10-2-15-3-59-41-52-25-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+73n.

Calculons 1/73 en base : 44, 117, 190, ...(44+73n) :

1/73 en base 44 = 0,0-26-22-39-34-15-29-23-22-13-11-19-39-7-36-33-33-6-27-31-41-25-40-16-38-25-13-37-42-34-42-8-19-12-28-40===43-17-21-4-9-28-14-20-21-30-32-24-4-36-7-10-10-37-16-12-2-18-3-27-5-18-30-6-1-9-1-35-24-31-15-3...

1/73 en base 117 = 0,1-70-60-105-91-41-78-62-59-35-30-52-104-20-97-89-88-17-73-84-110-68-107-44-102-67-36-100-113-92-112-22-51-33-76-108===115-46-56-11-25-75-38-54-57-81-86-64-12-96-19-27-28-99-43-32-6-48-9-72-14-49-80-16-3-24-4-94-65-83-40-8...

1/73 en base 190 = 0,2-114-98-171-148-67-127-101-96-57-49-85-169-33-158-145-143-28-119-137-179-111-174-72-166-109-59-163-184-150-182-36-83-54-124-176===187-75-91-18-41-122-62-88-93-132-140-104-20-156-31-44-46-161-70-52-10-78-15-117-23-80-130-26-5-39-7-153-106-135-65-13...

Et de manière générale en base 44+73n :

[n][26+44n][22+38n][39+66n][34+57n][15+26n][29+49n][23+39n][22+37n][13+22n][11+19n][19+33n][39+65n][7+13n][36+61n][33+56n][33+55n][6+11n][27+46n][31+53n][41+69n][25+43n][40+67n][16+28n][38+64n][25+42n][13+23n][37+63n][42+71n][34+58n][42+70n][8+14n][19+32n][12+21n][28+48n][40+68n]===[43+72n][17+29n][21+35n][4+7n][9+16n][28+47n][14+24n][20+34n][21+36n][30+51n][32+54n][24+40n][4+8n][36+60n][7+12n][10+17n][10+18n][37+62n][16+27n][12+20n][2+4n][18+30n][3+6n][27+45n][5+9n][18+31n][30+50n][6+10n][1+2n][9+15n][1+3n][35+59n][24+41n][31+52n][15+25n][3+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 44 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+73n.

Constatons que 5x44 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73