Calcul de 1/73 en base 11+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 11+73n se regroupent elles en cette série ?

1-11-48-17-41-13-70-40-2-22-23-34-9-26-67-7-4-44-46-68-18-52-61-14-8-15-19-63-36-31-49-28-16-30-38-53===72-62-25-56-32-60-3-33-71-51-50-39-64-47-6-66-69-29-27-5-55-21-12-59-65-58-54-10-37-42-24-45-57-43-35-20

Calculons 1/73 en base 11+73n (11, 84, 157, ...) :

1/73 en base 11 = 0,0-1-7-2-6-1-10-6-0-3-3-5-1-3-10-1-0-6-6-10-2-7-9-2-1-2-2-9-5-4-7-4-2-4-5-7===10-9-3-8-4-9-0-4-10-7-7-5-9-7-0-9-10-4-4-0-8-3-1-8-9-8-8-1-5-6-3-6-8-6-5-3...

1/73 en base 84 = 0,1-12-55-19-47-14-80-46-2-25-26-39-10-29-77-8-4-50-52-78-20-59-70-16-9-17-21-72-41-35-56-32-18-34-43-60===82-71-28-64-36-69-3-37-81-58-57-44-73-54-6-75-79-33-31-5-63-24-13-67-74-66-62-11-42-48-27-51-65-49-40-23...

1/73 en base 157 = 0,2-23-103-36-88-27-150-86-4-47-49-73-19-55-144-15-8-94-98-146-38-111-131-30-17-32-40-135-77-66-105-60-34-64-81-113===154-133-53-120-68-129-6-70-152-109-107-83-137-101-12-141-148-62-58-10-118-45-25-126-139-124-116-21-79-90-51-96-122-92-75-43...

Et de manière générale en base 11+73n :

[n][1+11n][7+48n][2+17n][6+41n][1+13n][10+70n][6+40n][2n][3+22n][3+23n][5+34n][1+9n][3+26n][10+67n][1+7n][4n][6+44n][6+46n][10+68n][2+18n][7+52n][9+61n][2+14n][1+8n][2+15n][2+19n][9+63n][5+36n][4+31n][7+49n][4+28n][2+16n][4+30n][5+38n][7+53n]===[10+72n][9+62n][3+25n][8+56n][4+32n][9+60n][3n][4+33n][10+71n][7+51n][7+50n][5+39n][9+64n][7+47n][6n][9+66n][10+69n][4+29n][4+27n][5n][8+55n][3+21n][1+12n][8+59n][9+65n][8+58n][8+54n][1+10n][5+37n][6+42n][3+24n][6+45n][8+57n][6+43n][5+35n][3+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 20+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 20+73n. La série est alors :

1-20-35-43-57-45-24-42-37-10-54-58-65-59-12-21-55-5-27-29-69-66-6-47-64-39-50-51-71-33-3-60-32-56-25-62===72-53-38-30-16-28-49-31-36-63-19-15-8-14-61-52-18-68-46-44-4-7-67-26-9-34-23-22-2-40-70-13-41-17-48-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+73n.

Calculons 1/73 en base : 20, 93, 166, ...(20+73n) :

1/73 en base 20 = 0,0-5-9-11-15-12-6-11-10-2-14-15-17-16-3-5-15-1-7-7-18-18-1-12-17-10-13-13-19-9-0-16-8-15-6-16===19-14-10-8-4-7-13-8-9-17-5-4-2-3-16-14-4-18-12-12-1-1-18-7-2-9-6-6-0-10-19-3-11-4-13-3...

1/73 en base 93 = 0,1-25-44-54-72-57-30-53-47-12-68-73-82-75-15-26-70-6-34-36-87-84-7-59-81-49-63-64-90-42-3-76-40-71-31-78===91-67-48-38-20-35-62-39-45-80-24-19-10-17-77-66-22-86-58-56-5-8-85-33-11-43-29-28-2-50-89-16-52-21-61-14...

1/73 en base 166 = 0,2-45-79-97-129-102-54-95-84-22-122-131-147-134-27-47-125-11-61-65-156-150-13-106-145-88-113-115-161-75-6-136-72-127-56-140===163-120-86-68-36-63-111-70-81-143-43-34-18-31-138-118-40-154-104-100-9-15-152-59-20-77-52-50-4-90-159-29-93-38-109-25...

Et de manière générale en base 20+73n :

[n][5+20n][9+35n][11+43n][15+57n][12+45n][6+24n][11+42n][10+37n][2+10n][14+54n][15+58n][17+65n][16+59n][3+12n][5+21n][15+55n][1+5n][7+27n][7+29n][18+69n][18+66n][1+6n][12+47n][17+64n][10+39n][13+50n][13+51n][19+71n][9+33n][3n][16+60n][8+32n][15+56n][6+25n][16+62n]===[19+72n][14+53n][10+38n][8+30n][4+16n][7+28n][13+49n][8+31n][9+36n][17+63n][5+19n][4+15n][2+8n][3+14n][16+61n][14+52n][4+18n][18+68n][12+46n][12+44n][1+4n][1+7n][18+67n][7+26n][2+9n][9+34n][6+23n][6+22n][2n][10+40n][19+70n][3+13n][11+41n][4+17n][13+48n][3+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+73n.

Constatons que 11x20 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73