Calcul de 1/73 en base 13+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 13+73n se regroupent elles en cette série ?

1-13-23-7-18-15-49-53-32-51-6-5-65-42-35-17-2-26-46-14-36-30-25-33-64-29-12-10-57-11-70-34-4-52-19-28===72-60-50-66-55-58-24-20-41-22-67-68-8-31-38-56-71-47-27-59-37-43-48-40-9-44-61-63-16-62-3-39-69-21-54-45

Calculons 1/73 en base 13+73n (13, 86, 159, ...) :

1/73 en base 13 = 0,0-2-4-1-3-2-8-9-5-9-1-0-11-7-6-3-0-4-8-2-6-5-4-5-11-5-2-1-10-1-12-6-0-9-3-4===12-10-8-11-9-10-4-3-7-3-11-12-1-5-6-9-12-8-4-10-6-7-8-7-1-7-10-11-2-11-0-6-12-3-9-8...

1/73 en base 86 = 0,1-15-27-8-21-17-57-62-37-60-7-5-76-49-41-20-2-30-54-16-42-35-29-38-75-34-14-11-67-12-82-40-4-61-22-32===84-70-58-77-64-68-28-23-48-25-78-80-9-36-44-65-83-55-31-69-43-50-56-47-10-51-71-74-18-73-3-45-81-24-63-53...

1/73 en base 159 = 0,2-28-50-15-39-32-106-115-69-111-13-10-141-91-76-37-4-56-100-30-78-65-54-71-139-63-26-21-124-23-152-74-8-113-41-60===156-130-108-143-119-126-52-43-89-47-145-148-17-67-82-121-154-102-58-128-80-93-104-87-19-95-132-137-34-135-6-84-150-45-117-98...

Et de manière générale en base 13+73n :

[n][2+13n][4+23n][1+7n][3+18n][2+15n][8+49n][9+53n][5+32n][9+51n][1+6n][5n][11+65n][7+42n][6+35n][3+17n][2n][4+26n][8+46n][2+14n][6+36n][5+30n][4+25n][5+33n][11+64n][5+29n][2+12n][1+10n][10+57n][1+11n][12+70n][6+34n][4n][9+52n][3+19n][4+28n]===[12+72n][10+60n][8+50n][11+66n][9+55n][10+58n][4+24n][3+20n][7+41n][3+22n][11+67n][12+68n][1+8n][5+31n][6+38n][9+56n][12+71n][8+47n][4+27n][10+59n][6+37n][7+43n][8+48n][7+40n][1+9n][7+44n][10+61n][11+63n][2+16n][11+62n][3n][6+39n][12+69n][3+21n][9+54n][8+45n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 45+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 45+73n. La série est alors :

1-45-54-21-69-39-3-62-16-63-61-44-9-40-48-43-37-59-27-47-71-56-38-31-8-68-67-22-41-20-24-58-55-66-50-60===72-28-19-52-4-34-70-11-57-10-12-29-64-33-25-30-36-14-46-26-2-17-35-42-65-5-6-51-32-53-49-15-18-7-23-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+73n.

Calculons 1/73 en base : 45, 118, 191, ...(45+73n) :

1/73 en base 45 = 0,0-27-33-12-42-24-1-38-9-38-37-27-5-24-29-26-22-36-16-28-43-34-23-19-4-41-41-13-25-12-14-35-33-40-30-36===44-17-11-32-2-20-43-6-35-6-7-17-39-20-15-18-22-8-28-16-1-10-21-25-40-3-3-31-19-32-30-9-11-4-14-8...

1/73 en base 118 = 0,1-72-87-33-111-63-4-100-25-101-98-71-14-64-77-69-59-95-43-75-114-90-61-50-12-109-108-35-66-32-38-93-88-106-80-96===116-45-30-84-6-54-113-17-92-16-19-46-103-53-40-48-58-22-74-42-3-27-56-67-105-8-9-82-51-85-79-24-29-11-37-21...

1/73 en base 191 = 0,2-117-141-54-180-102-7-162-41-164-159-115-23-104-125-112-96-154-70-122-185-146-99-81-20-177-175-57-107-52-62-151-143-172-130-156===188-73-49-136-10-88-183-28-149-26-31-75-167-86-65-78-94-36-120-68-5-44-91-109-170-13-15-133-83-138-128-39-47-18-60-34...

Et de manière générale en base 45+73n :

[n][27+45n][33+54n][12+21n][42+69n][24+39n][1+3n][38+62n][9+16n][38+63n][37+61n][27+44n][5+9n][24+40n][29+48n][26+43n][22+37n][36+59n][16+27n][28+47n][43+71n][34+56n][23+38n][19+31n][4+8n][41+68n][41+67n][13+22n][25+41n][12+20n][14+24n][35+58n][33+55n][40+66n][30+50n][36+60n]===[44+72n][17+28n][11+19n][32+52n][2+4n][20+34n][43+70n][6+11n][35+57n][6+10n][7+12n][17+29n][39+64n][20+33n][15+25n][18+30n][22+36n][8+14n][28+46n][16+26n][1+2n][10+17n][21+35n][25+42n][40+65n][3+5n][3+6n][31+51n][19+32n][32+53n][30+49n][9+15n][11+18n][4+7n][14+23n][8+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 45 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+73n.

Constatons que 13x45 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73