Calcul de 1/73 en base 14+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 14+73n se regroupent elles en cette série ?

1-14-50-43-18-33-24-44-32-10-67-62-65-34-38-21-2-28-27-13-36-66-48-15-64-20-61-51-57-68-3-42-4-56-54-26===72-59-23-30-55-40-49-29-41-63-6-11-8-39-35-52-71-45-46-60-37-7-25-58-9-53-12-22-16-5-70-31-69-17-19-47

Calculons 1/73 en base 14+73n (14, 87, 160, ...) :

1/73 en base 14 = 0,0-2-9-8-3-6-4-8-6-1-12-11-12-6-7-4-0-5-5-2-6-12-9-2-12-3-11-9-10-13-0-8-0-10-10-4===13-11-4-5-10-7-9-5-7-12-1-2-1-7-6-9-13-8-8-11-7-1-4-11-1-10-2-4-3-0-13-5-13-3-3-9...

1/73 en base 87 = 0,1-16-59-51-21-39-28-52-38-11-79-73-77-40-45-25-2-33-32-15-42-78-57-17-76-23-72-60-67-81-3-50-4-66-64-30===85-70-27-35-65-47-58-34-48-75-7-13-9-46-41-61-84-53-54-71-44-8-29-69-10-63-14-26-19-5-83-36-82-20-22-56...

1/73 en base 160 = 0,2-30-109-94-39-72-52-96-70-21-146-135-142-74-83-46-4-61-59-28-78-144-105-32-140-43-133-111-124-149-6-92-8-122-118-56===157-129-50-65-120-87-107-63-89-138-13-24-17-85-76-113-155-98-100-131-81-15-54-127-19-116-26-48-35-10-153-67-151-37-41-103...

Et de manière générale en base 14+73n :

[n][2+14n][9+50n][8+43n][3+18n][6+33n][4+24n][8+44n][6+32n][1+10n][12+67n][11+62n][12+65n][6+34n][7+38n][4+21n][2n][5+28n][5+27n][2+13n][6+36n][12+66n][9+48n][2+15n][12+64n][3+20n][11+61n][9+51n][10+57n][13+68n][3n][8+42n][4n][10+56n][10+54n][4+26n]===[13+72n][11+59n][4+23n][5+30n][10+55n][7+40n][9+49n][5+29n][7+41n][12+63n][1+6n][2+11n][1+8n][7+39n][6+35n][9+52n][13+71n][8+45n][8+46n][11+60n][7+37n][1+7n][4+25n][11+58n][1+9n][10+53n][2+12n][4+22n][3+16n][5n][13+70n][5+31n][13+69n][3+17n][3+19n][9+47n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 47+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 47+73n. La série est alors :

1-47-19-17-69-31-70-5-16-22-12-53-9-58-25-7-37-60-46-45-71-52-35-39-8-11-6-63-41-29-49-40-55-30-23-59===72-26-54-56-4-42-3-68-57-51-61-20-64-15-48-66-36-13-27-28-2-21-38-34-65-62-67-10-32-44-24-33-18-43-50-14

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 14+73n.

Calculons 1/73 en base : 47, 120, 193, ...(47+73n) :

1/73 en base 47 = 0,0-30-12-10-44-19-45-3-10-14-7-34-5-37-16-4-23-38-29-28-45-33-22-25-5-7-3-40-26-18-31-25-35-19-14-37===46-16-34-36-2-27-1-43-36-32-39-12-41-9-30-42-23-8-17-18-1-13-24-21-41-39-43-6-20-28-15-21-11-27-32-9...

1/73 en base 120 = 0,1-77-31-27-113-50-115-8-26-36-19-87-14-95-41-11-60-98-75-73-116-85-57-64-13-18-9-103-67-47-80-65-90-49-37-96===118-42-88-92-6-69-4-111-93-83-100-32-105-24-78-108-59-21-44-46-3-34-62-55-106-101-110-16-52-72-39-54-29-70-82-23...

1/73 en base 193 = 0,2-124-50-44-182-81-185-13-42-58-31-140-23-153-66-18-97-158-121-118-187-137-92-103-21-29-15-166-108-76-129-105-145-79-60-155===190-68-142-148-10-111-7-179-150-134-161-52-169-39-126-174-95-34-71-74-5-55-100-89-171-163-177-26-84-116-63-87-47-113-132-37...

Et de manière générale en base 47+73n :

[n][30+47n][12+19n][10+17n][44+69n][19+31n][45+70n][3+5n][10+16n][14+22n][7+12n][34+53n][5+9n][37+58n][16+25n][4+7n][23+37n][38+60n][29+46n][28+45n][45+71n][33+52n][22+35n][25+39n][5+8n][7+11n][3+6n][40+63n][26+41n][18+29n][31+49n][25+40n][35+55n][19+30n][14+23n][37+59n]===[46+72n][16+26n][34+54n][36+56n][2+4n][27+42n][1+3n][43+68n][36+57n][32+51n][39+61n][12+20n][41+64n][9+15n][30+48n][42+66n][23+36n][8+13n][17+27n][18+28n][1+2n][13+21n][24+38n][21+34n][41+65n][39+62n][43+67n][6+10n][20+32n][28+44n][15+24n][21+33n][11+18n][27+43n][32+50n][9+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 47 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 14+73n.

Constatons que 14x47 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73