Calcul de 1/73 en base 15+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 15+73n se regroupent elles en cette série ?

1-15-6-17-36-29-70-28-55-22-38-59-9-62-54-7-32-42-46-33-57-52-50-20-8-47-48-63-69-13-49-5-2-30-12-34===72-58-67-56-37-44-3-45-18-51-35-14-64-11-19-66-41-31-27-40-16-21-23-53-65-26-25-10-4-60-24-68-71-43-61-39

Calculons 1/73 en base 15+73n (15, 88, 161, ...) :

1/73 en base 15 = 0,0-3-1-3-7-5-14-5-11-4-7-12-1-12-11-1-6-8-9-6-11-10-10-4-1-9-9-12-14-2-10-1-0-6-2-6===14-11-13-11-7-9-0-9-3-10-7-2-13-2-3-13-8-6-5-8-3-4-4-10-13-5-5-2-0-12-4-13-14-8-12-8...

1/73 en base 88 = 0,1-18-7-20-43-34-84-33-66-26-45-71-10-74-65-8-38-50-55-39-68-62-60-24-9-56-57-75-83-15-59-6-2-36-14-40===86-69-80-67-44-53-3-54-21-61-42-16-77-13-22-79-49-37-32-48-19-25-27-63-78-31-30-12-4-72-28-81-85-51-73-47...

1/73 en base 161 = 0,2-33-13-37-79-63-154-61-121-48-83-130-19-136-119-15-70-92-101-72-125-114-110-44-17-103-105-138-152-28-108-11-4-66-26-74===158-127-147-123-81-97-6-99-39-112-77-30-141-24-41-145-90-68-59-88-35-46-50-116-143-57-55-22-8-132-52-149-156-94-134-86...

Et de manière générale en base 15+73n :

[n][3+15n][1+6n][3+17n][7+36n][5+29n][14+70n][5+28n][11+55n][4+22n][7+38n][12+59n][1+9n][12+62n][11+54n][1+7n][6+32n][8+42n][9+46n][6+33n][11+57n][10+52n][10+50n][4+20n][1+8n][9+47n][9+48n][12+63n][14+69n][2+13n][10+49n][1+5n][2n][6+30n][2+12n][6+34n]===[14+72n][11+58n][13+67n][11+56n][7+37n][9+44n][3n][9+45n][3+18n][10+51n][7+35n][2+14n][13+64n][2+11n][3+19n][13+66n][8+41n][6+31n][5+27n][8+40n][3+16n][4+21n][4+23n][10+53n][13+65n][5+26n][5+25n][2+10n][4n][12+60n][4+24n][13+68n][14+71n][8+43n][12+61n][8+39n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 39+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 39+73n. La série est alors :

1-39-61-43-71-68-24-60-4-10-25-26-65-53-23-21-16-40-27-31-41-66-19-11-64-14-35-51-18-45-3-44-37-56-67-58===72-34-12-30-2-5-49-13-69-63-48-47-8-20-50-52-57-33-46-42-32-7-54-62-9-59-38-22-55-28-70-29-36-17-6-15

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 15+73n.

Calculons 1/73 en base : 39, 112, 185, ...(39+73n) :

1/73 en base 39 = 0,0-20-32-22-37-36-12-32-2-5-13-13-34-28-12-11-8-21-14-16-21-35-10-5-34-7-18-27-9-24-1-23-19-29-35-30===38-18-6-16-1-2-26-6-36-33-25-25-4-10-26-27-30-17-24-22-17-3-28-33-4-31-20-11-29-14-37-15-19-9-3-8...

1/73 en base 112 = 0,1-59-93-65-108-104-36-92-6-15-38-39-99-81-35-32-24-61-41-47-62-101-29-16-98-21-53-78-27-69-4-67-56-85-102-88===110-52-18-46-3-7-75-19-105-96-73-72-12-30-76-79-87-50-70-64-49-10-82-95-13-90-58-33-84-42-107-44-55-26-9-23...

1/73 en base 185 = 0,2-98-154-108-179-172-60-152-10-25-63-65-164-134-58-53-40-101-68-78-103-167-48-27-162-35-88-129-45-114-7-111-93-141-169-146===182-86-30-76-5-12-124-32-174-159-121-119-20-50-126-131-144-83-116-106-81-17-136-157-22-149-96-55-139-70-177-73-91-43-15-38...

Et de manière générale en base 39+73n :

[n][20+39n][32+61n][22+43n][37+71n][36+68n][12+24n][32+60n][2+4n][5+10n][13+25n][13+26n][34+65n][28+53n][12+23n][11+21n][8+16n][21+40n][14+27n][16+31n][21+41n][35+66n][10+19n][5+11n][34+64n][7+14n][18+35n][27+51n][9+18n][24+45n][1+3n][23+44n][19+37n][29+56n][35+67n][30+58n]===[38+72n][18+34n][6+12n][16+30n][1+2n][2+5n][26+49n][6+13n][36+69n][33+63n][25+48n][25+47n][4+8n][10+20n][26+50n][27+52n][30+57n][17+33n][24+46n][22+42n][17+32n][3+7n][28+54n][33+62n][4+9n][31+59n][20+38n][11+22n][29+55n][14+28n][37+70n][15+29n][19+36n][9+17n][3+6n][8+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 39 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 15+73n.

Constatons que 15x39 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73