Calcul de 1/73 en base 26+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 26+73n se regroupent elles en cette série ?

1-26-19-56-69-42-70-68-16-51-12-20-9-15-25-66-37-13-46-28-71-21-35-34-8-62-6-10-41-44-49-33-55-43-23-14===72-47-54-17-4-31-3-5-57-22-61-53-64-58-48-7-36-60-27-45-2-52-38-39-65-11-67-63-32-29-24-40-18-30-50-59

Calculons 1/73 en base 26+73n (26, 99, 172, ...) :

1/73 en base 26 = 0,0-9-6-19-24-14-24-24-5-18-4-7-3-5-8-23-13-4-16-9-25-7-12-12-2-22-2-3-14-15-17-11-19-15-8-4===25-16-19-6-1-11-1-1-20-7-21-18-22-20-17-2-12-21-9-16-0-18-13-13-23-3-23-22-11-10-8-14-6-10-17-21...

1/73 en base 99 = 0,1-35-25-75-93-56-94-92-21-69-16-27-12-20-33-89-50-17-62-37-96-28-47-46-10-84-8-13-55-59-66-44-74-58-31-18===97-63-73-23-5-42-4-6-77-29-82-71-86-78-65-9-48-81-36-61-2-70-51-52-88-14-90-85-43-39-32-54-24-40-67-80...

1/73 en base 172 = 0,2-61-44-131-162-98-164-160-37-120-28-47-21-35-58-155-87-30-108-65-167-49-82-80-18-146-14-23-96-103-115-77-129-101-54-32===169-110-127-40-9-73-7-11-134-51-143-124-150-136-113-16-84-141-63-106-4-122-89-91-153-25-157-148-75-68-56-94-42-70-117-139...

Et de manière générale en base 26+73n :

[n][9+26n][6+19n][19+56n][24+69n][14+42n][24+70n][24+68n][5+16n][18+51n][4+12n][7+20n][3+9n][5+15n][8+25n][23+66n][13+37n][4+13n][16+46n][9+28n][25+71n][7+21n][12+35n][12+34n][2+8n][22+62n][2+6n][3+10n][14+41n][15+44n][17+49n][11+33n][19+55n][15+43n][8+23n][4+14n]===[25+72n][16+47n][19+54n][6+17n][1+4n][11+31n][1+3n][1+5n][20+57n][7+22n][21+61n][18+53n][22+64n][20+58n][17+48n][2+7n][12+36n][21+60n][9+27n][16+45n][2n][18+52n][13+38n][13+39n][23+65n][3+11n][23+67n][22+63n][11+32n][10+29n][8+24n][14+40n][6+18n][10+30n][17+50n][21+59n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 59+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 59+73n. La série est alors :

1-59-50-30-18-40-24-29-32-63-67-11-65-39-38-52-2-45-27-60-36-7-48-58-64-53-61-22-57-5-3-31-4-17-54-47===72-14-23-43-55-33-49-44-41-10-6-62-8-34-35-21-71-28-46-13-37-66-25-15-9-20-12-51-16-68-70-42-69-56-19-26

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 26+73n.

Calculons 1/73 en base : 59, 132, 205, ...(59+73n) :

1/73 en base 59 = 0,0-47-40-24-14-32-19-23-25-50-54-8-52-31-30-42-1-36-21-48-29-5-38-46-51-42-49-17-46-4-2-25-3-13-43-37===58-11-18-34-44-26-39-35-33-8-4-50-6-27-28-16-57-22-37-10-29-53-20-12-7-16-9-41-12-54-56-33-55-45-15-21...

1/73 en base 132 = 0,1-106-90-54-32-72-43-52-57-113-121-19-117-70-68-94-3-81-48-108-65-12-86-104-115-95-110-39-103-9-5-56-7-30-97-84===130-25-41-77-99-59-88-79-74-18-10-112-14-61-63-37-128-50-83-23-66-119-45-27-16-36-21-92-28-122-126-75-124-101-34-47...

1/73 en base 205 = 0,2-165-140-84-50-112-67-81-89-176-188-30-182-109-106-146-5-126-75-168-101-19-134-162-179-148-171-61-160-14-8-87-11-47-151-131===202-39-64-120-154-92-137-123-115-28-16-174-22-95-98-58-199-78-129-36-103-185-70-42-25-56-33-143-44-190-196-117-193-157-53-73...

Et de manière générale en base 59+73n :

[n][47+59n][40+50n][24+30n][14+18n][32+40n][19+24n][23+29n][25+32n][50+63n][54+67n][8+11n][52+65n][31+39n][30+38n][42+52n][1+2n][36+45n][21+27n][48+60n][29+36n][5+7n][38+48n][46+58n][51+64n][42+53n][49+61n][17+22n][46+57n][4+5n][2+3n][25+31n][3+4n][13+17n][43+54n][37+47n]===[58+72n][11+14n][18+23n][34+43n][44+55n][26+33n][39+49n][35+44n][33+41n][8+10n][4+6n][50+62n][6+8n][27+34n][28+35n][16+21n][57+71n][22+28n][37+46n][10+13n][29+37n][53+66n][20+25n][12+15n][7+9n][16+20n][9+12n][41+51n][12+16n][54+68n][56+70n][33+42n][55+69n][45+56n][15+19n][21+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 59 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 26+73n.

Constatons que 26x59 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73