Calcul de 1/73 en base 28+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 28+73n se regroupent elles en cette série ?

1-28-54-52-69-34-3-11-16-10-61-29-9-33-48-30-37-14-27-26-71-17-38-42-8-5-67-51-41-53-24-15-55-7-50-13===72-45-19-21-4-39-70-62-57-63-12-44-64-40-25-43-36-59-46-47-2-56-35-31-65-68-6-22-32-20-49-58-18-66-23-60

Calculons 1/73 en base 28+73n (28, 101, 174, ...) :

1/73 en base 28 = 0,0-10-20-19-26-13-1-4-6-3-23-11-3-12-18-11-14-5-10-9-27-6-14-16-3-1-25-19-15-20-9-5-21-2-19-4===27-17-7-8-1-14-26-23-21-24-4-16-24-15-9-16-13-22-17-18-0-21-13-11-24-26-2-8-12-7-18-22-6-25-8-23...

1/73 en base 101 = 0,1-38-74-71-95-47-4-15-22-13-84-40-12-45-66-41-51-19-37-35-98-23-52-58-11-6-92-70-56-73-33-20-76-9-69-17===99-62-26-29-5-53-96-85-78-87-16-60-88-55-34-59-49-81-63-65-2-77-48-42-89-94-8-30-44-27-67-80-24-91-31-83...

1/73 en base 174 = 0,2-66-128-123-164-81-7-26-38-23-145-69-21-78-114-71-88-33-64-61-169-40-90-100-19-11-159-121-97-126-57-35-131-16-119-30===171-107-45-50-9-92-166-147-135-150-28-104-152-95-59-102-85-140-109-112-4-133-83-73-154-162-14-52-76-47-116-138-42-157-54-143...

Et de manière générale en base 28+73n :

[n][10+28n][20+54n][19+52n][26+69n][13+34n][1+3n][4+11n][6+16n][3+10n][23+61n][11+29n][3+9n][12+33n][18+48n][11+30n][14+37n][5+14n][10+27n][9+26n][27+71n][6+17n][14+38n][16+42n][3+8n][1+5n][25+67n][19+51n][15+41n][20+53n][9+24n][5+15n][21+55n][2+7n][19+50n][4+13n]===[27+72n][17+45n][7+19n][8+21n][1+4n][14+39n][26+70n][23+62n][21+57n][24+63n][4+12n][16+44n][24+64n][15+40n][9+25n][16+43n][13+36n][22+59n][17+46n][18+47n][2n][21+56n][13+35n][11+31n][24+65n][26+68n][2+6n][8+22n][12+32n][7+20n][18+49n][22+58n][6+18n][25+66n][8+23n][23+60n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 28 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 60+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 60+73n. La série est alors :

1-60-23-66-18-58-49-20-32-22-6-68-65-31-35-56-2-47-46-59-36-43-25-40-64-44-12-63-57-62-70-39-4-21-19-45===72-13-50-7-55-15-24-53-41-51-67-5-8-42-38-17-71-26-27-14-37-30-48-33-9-29-61-10-16-11-3-34-69-52-54-28

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 28+73n.

Calculons 1/73 en base : 60, 133, 206, ...(60+73n) :

1/73 en base 60 = 0,0-49-18-54-14-47-40-16-26-18-4-55-53-25-28-46-1-38-37-48-29-35-20-32-52-36-9-51-46-50-57-32-3-17-15-36===59-10-41-5-45-12-19-43-33-41-55-4-6-34-31-13-58-21-22-11-30-24-39-27-7-23-50-8-13-9-2-27-56-42-44-23...

1/73 en base 133 = 0,1-109-41-120-32-105-89-36-58-40-10-123-118-56-63-102-3-85-83-107-65-78-45-72-116-80-21-114-103-112-127-71-7-38-34-81===131-23-91-12-100-27-43-96-74-92-122-9-14-76-69-30-129-47-49-25-67-54-87-60-16-52-111-18-29-20-5-61-125-94-98-51...

1/73 en base 206 = 0,2-169-64-186-50-163-138-56-90-62-16-191-183-87-98-158-5-132-129-166-101-121-70-112-180-124-33-177-160-174-197-110-11-59-53-126===203-36-141-19-155-42-67-149-115-143-189-14-22-118-107-47-200-73-76-39-104-84-135-93-25-81-172-28-45-31-8-95-194-146-152-79...

Et de manière générale en base 60+73n :

[n][49+60n][18+23n][54+66n][14+18n][47+58n][40+49n][16+20n][26+32n][18+22n][4+6n][55+68n][53+65n][25+31n][28+35n][46+56n][1+2n][38+47n][37+46n][48+59n][29+36n][35+43n][20+25n][32+40n][52+64n][36+44n][9+12n][51+63n][46+57n][50+62n][57+70n][32+39n][3+4n][17+21n][15+19n][36+45n]===[59+72n][10+13n][41+50n][5+7n][45+55n][12+15n][19+24n][43+53n][33+41n][41+51n][55+67n][4+5n][6+8n][34+42n][31+38n][13+17n][58+71n][21+26n][22+27n][11+14n][30+37n][24+30n][39+48n][27+33n][7+9n][23+29n][50+61n][8+10n][13+16n][9+11n][2+3n][27+34n][56+69n][42+52n][44+54n][23+28n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 60 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 28+73n.

Constatons que 28x60 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73