Calcul de 1/73 en base 29+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 29+73n se regroupent elles en cette série ?

1-29-38-7-57-47-49-34-37-51-19-40-65-60-61-17-55-62-46-20-69-30-67-45-64-31-23-10-71-15-70-59-32-52-48-5===72-44-35-66-16-26-24-39-36-22-54-33-8-13-12-56-18-11-27-53-4-43-6-28-9-42-50-63-2-58-3-14-41-21-25-68

Calculons 1/73 en base 29+73n (29, 102, 175, ...) :

1/73 en base 29 = 0,0-11-15-2-22-18-19-13-14-20-7-15-25-23-24-6-21-24-18-7-27-11-26-17-25-12-9-3-28-5-27-23-12-20-19-1===28-17-13-26-6-10-9-15-14-8-21-13-3-5-4-22-7-4-10-21-1-17-2-11-3-16-19-25-0-23-1-5-16-8-9-27...

1/73 en base 102 = 0,1-40-53-9-79-65-68-47-51-71-26-55-90-83-85-23-76-86-64-27-96-41-93-62-89-43-32-13-99-20-97-82-44-72-67-6===100-61-48-92-22-36-33-54-50-30-75-46-11-18-16-78-25-15-37-74-5-60-8-39-12-58-69-88-2-81-4-19-57-29-34-95...

1/73 en base 175 = 0,2-69-91-16-136-112-117-81-88-122-45-95-155-143-146-40-131-148-110-47-165-71-160-107-153-74-55-23-170-35-167-141-76-124-115-11===172-105-83-158-38-62-57-93-86-52-129-79-19-31-28-134-43-26-64-127-9-103-14-67-21-100-119-151-4-139-7-33-98-50-59-163...

Et de manière générale en base 29+73n :

[n][11+29n][15+38n][2+7n][22+57n][18+47n][19+49n][13+34n][14+37n][20+51n][7+19n][15+40n][25+65n][23+60n][24+61n][6+17n][21+55n][24+62n][18+46n][7+20n][27+69n][11+30n][26+67n][17+45n][25+64n][12+31n][9+23n][3+10n][28+71n][5+15n][27+70n][23+59n][12+32n][20+52n][19+48n][1+5n]===[28+72n][17+44n][13+35n][26+66n][6+16n][10+26n][9+24n][15+39n][14+36n][8+22n][21+54n][13+33n][3+8n][5+13n][4+12n][22+56n][7+18n][4+11n][10+27n][21+53n][1+4n][17+43n][2+6n][11+28n][3+9n][16+42n][19+50n][25+63n][2n][23+58n][1+3n][5+14n][16+41n][8+21n][9+25n][27+68n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 29 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 68+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 68+73n. La série est alors :

1-68-25-21-41-14-3-58-2-63-50-42-9-28-6-43-4-53-27-11-18-56-12-13-8-33-54-22-36-39-24-26-16-66-35-44===72-5-48-52-32-59-70-15-71-10-23-31-64-45-67-30-69-20-46-62-55-17-61-60-65-40-19-51-37-34-49-47-57-7-38-29

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 29+73n.

Calculons 1/73 en base : 68, 141, 214, ...(68+73n) :

1/73 en base 68 = 0,0-63-23-19-38-13-2-54-1-58-46-39-8-26-5-40-3-49-25-10-16-52-11-12-7-30-50-20-33-36-22-24-14-61-32-40===67-4-44-48-29-54-65-13-66-9-21-28-59-41-62-27-64-18-42-57-51-15-56-55-60-37-17-47-34-31-45-43-53-6-35-27...

1/73 en base 141 = 0,1-131-48-40-79-27-5-112-3-121-96-81-17-54-11-83-7-102-52-21-34-108-23-25-15-63-104-42-69-75-46-50-30-127-67-84===139-9-92-100-61-113-135-28-137-19-44-59-123-86-129-57-133-38-88-119-106-32-117-115-125-77-36-98-71-65-94-90-110-13-73-56...

1/73 en base 214 = 0,2-199-73-61-120-41-8-170-5-184-146-123-26-82-17-126-11-155-79-32-52-164-35-38-23-96-158-64-105-114-70-76-46-193-102-128===211-14-140-152-93-172-205-43-208-29-67-90-187-131-196-87-202-58-134-181-161-49-178-175-190-117-55-149-108-99-143-137-167-20-111-85...

Et de manière générale en base 68+73n :

[n][63+68n][23+25n][19+21n][38+41n][13+14n][2+3n][54+58n][1+2n][58+63n][46+50n][39+42n][8+9n][26+28n][5+6n][40+43n][3+4n][49+53n][25+27n][10+11n][16+18n][52+56n][11+12n][12+13n][7+8n][30+33n][50+54n][20+22n][33+36n][36+39n][22+24n][24+26n][14+16n][61+66n][32+35n][40+44n]===[67+72n][4+5n][44+48n][48+52n][29+32n][54+59n][65+70n][13+15n][66+71n][9+10n][21+23n][28+31n][59+64n][41+45n][62+67n][27+30n][64+69n][18+20n][42+46n][57+62n][51+55n][15+17n][56+61n][55+60n][60+65n][37+40n][17+19n][47+51n][34+37n][31+34n][45+49n][43+47n][53+57n][6+7n][35+38n][27+29n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 68 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 29+73n.

Constatons que 29x68 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73