Calcul de 1/73 en base 31+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 31+73n se regroupent elles en cette série ?

1-31-12-7-71-11-49-59-4-51-48-28-65-44-50-17-16-58-46-39-41-30-54-68-64-13-38-10-18-47-70-53-37-52-6-40===72-42-61-66-2-62-24-14-69-22-25-45-8-29-23-56-57-15-27-34-32-43-19-5-9-60-35-63-55-26-3-20-36-21-67-33

Calculons 1/73 en base 31+73n (31, 104, 177, ...) :

1/73 en base 31 = 0,0-13-5-2-30-4-20-25-1-21-20-11-27-18-21-7-6-24-19-16-17-12-22-28-27-5-16-4-7-19-29-22-15-22-2-16===30-17-25-28-0-26-10-5-29-9-10-19-3-12-9-23-24-6-11-14-13-18-8-2-3-25-14-26-23-11-1-8-15-8-28-14...

1/73 en base 104 = 0,1-44-17-9-101-15-69-84-5-72-68-39-92-62-71-24-22-82-65-55-58-42-76-96-91-18-54-14-25-66-99-75-52-74-8-56===102-59-86-94-2-88-34-19-98-31-35-64-11-41-32-79-81-21-38-48-45-61-27-7-12-85-49-89-78-37-4-28-51-29-95-47...

1/73 en base 177 = 0,2-75-29-16-172-26-118-143-9-123-116-67-157-106-121-41-38-140-111-94-99-72-130-164-155-31-92-24-43-113-169-128-89-126-14-96===174-101-147-160-4-150-58-33-167-53-60-109-19-70-55-135-138-36-65-82-77-104-46-12-21-145-84-152-133-63-7-48-87-50-162-80...

Et de manière générale en base 31+73n :

[n][13+31n][5+12n][2+7n][30+71n][4+11n][20+49n][25+59n][1+4n][21+51n][20+48n][11+28n][27+65n][18+44n][21+50n][7+17n][6+16n][24+58n][19+46n][16+39n][17+41n][12+30n][22+54n][28+68n][27+64n][5+13n][16+38n][4+10n][7+18n][19+47n][29+70n][22+53n][15+37n][22+52n][2+6n][16+40n]===[30+72n][17+42n][25+61n][28+66n][2n][26+62n][10+24n][5+14n][29+69n][9+22n][10+25n][19+45n][3+8n][12+29n][9+23n][23+56n][24+57n][6+15n][11+27n][14+34n][13+32n][18+43n][8+19n][2+5n][3+9n][25+60n][14+35n][26+63n][23+55n][11+26n][1+3n][8+20n][15+36n][8+21n][28+67n][14+33n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 31 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 33+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 33+73n. La série est alors :

1-33-67-21-36-20-3-26-55-63-35-60-9-5-19-43-32-34-27-15-57-56-23-29-8-45-25-22-69-14-24-62-2-66-61-42===72-40-6-52-37-53-70-47-18-10-38-13-64-68-54-30-41-39-46-58-16-17-50-44-65-28-48-51-4-59-49-11-71-7-12-31

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 31+73n.

Calculons 1/73 en base : 33, 106, 179, ...(33+73n) :

1/73 en base 33 = 0,0-14-30-9-16-9-1-11-24-28-15-27-4-2-8-19-14-15-12-6-25-25-10-13-3-20-11-9-31-6-10-28-0-29-27-18===32-18-2-23-16-23-31-21-8-4-17-5-28-30-24-13-18-17-20-26-7-7-22-19-29-12-21-23-1-26-22-4-32-3-5-14...

1/73 en base 106 = 0,1-47-97-30-52-29-4-37-79-91-50-87-13-7-27-62-46-49-39-21-82-81-33-42-11-65-36-31-100-20-34-90-2-95-88-60===104-58-8-75-53-76-101-68-26-14-55-18-92-98-78-43-59-56-66-84-23-24-72-63-94-40-69-74-5-85-71-15-103-10-17-45...

1/73 en base 179 = 0,2-80-164-51-88-49-7-63-134-154-85-147-22-12-46-105-78-83-66-36-139-137-56-71-19-110-61-53-169-34-58-152-4-161-149-102===176-98-14-127-90-129-171-115-44-24-93-31-156-166-132-73-100-95-112-142-39-41-122-107-159-68-117-125-9-144-120-26-174-17-29-76...

Et de manière générale en base 33+73n :

[n][14+33n][30+67n][9+21n][16+36n][9+20n][1+3n][11+26n][24+55n][28+63n][15+35n][27+60n][4+9n][2+5n][8+19n][19+43n][14+32n][15+34n][12+27n][6+15n][25+57n][25+56n][10+23n][13+29n][3+8n][20+45n][11+25n][9+22n][31+69n][6+14n][10+24n][28+62n][2n][29+66n][27+61n][18+42n]===[32+72n][18+40n][2+6n][23+52n][16+37n][23+53n][31+70n][21+47n][8+18n][4+10n][17+38n][5+13n][28+64n][30+68n][24+54n][13+30n][18+41n][17+39n][20+46n][26+58n][7+16n][7+17n][22+50n][19+44n][29+65n][12+28n][21+48n][23+51n][1+4n][26+59n][22+49n][4+11n][32+71n][3+7n][5+12n][14+31n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 33 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 31+73n.

Constatons que 31x33 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73