Calcul de 1/73 en base 34+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 34+73n se regroupent elles en cette série ?

1-34-61-30-71-5-24-13-4-63-25-47-65-20-23-52-16-33-27-42-41-7-19-62-64-59-35-22-18-28-3-29-37-17-67-15===72-39-12-43-2-68-49-60-69-10-48-26-8-53-50-21-57-40-46-31-32-66-54-11-9-14-38-51-55-45-70-44-36-56-6-58

Calculons 1/73 en base 34+73n (34, 107, 180, ...) :

1/73 en base 34 = 0,0-15-28-13-33-2-11-6-1-29-11-21-30-9-10-24-7-15-12-19-19-3-8-28-29-27-16-10-8-13-1-13-17-7-31-6===33-18-5-20-0-31-22-27-32-4-22-12-3-24-23-9-26-18-21-14-14-30-25-5-4-6-17-23-25-20-32-20-16-26-2-27...

1/73 en base 107 = 0,1-49-89-43-104-7-35-19-5-92-36-68-95-29-33-76-23-48-39-61-60-10-27-90-93-86-51-32-26-41-4-42-54-24-98-21===105-57-17-63-2-99-71-87-101-14-70-38-11-77-73-30-83-58-67-45-46-96-79-16-13-20-55-74-80-65-102-64-52-82-8-85...

1/73 en base 180 = 0,2-83-150-73-175-12-59-32-9-155-61-115-160-49-56-128-39-81-66-103-101-17-46-152-157-145-86-54-44-69-7-71-91-41-165-36===177-96-29-106-4-167-120-147-170-24-118-64-19-130-123-51-140-98-113-76-78-162-133-27-22-34-93-125-135-110-172-108-88-138-14-143...

Et de manière générale en base 34+73n :

[n][15+34n][28+61n][13+30n][33+71n][2+5n][11+24n][6+13n][1+4n][29+63n][11+25n][21+47n][30+65n][9+20n][10+23n][24+52n][7+16n][15+33n][12+27n][19+42n][19+41n][3+7n][8+19n][28+62n][29+64n][27+59n][16+35n][10+22n][8+18n][13+28n][1+3n][13+29n][17+37n][7+17n][31+67n][6+15n]===[33+72n][18+39n][5+12n][20+43n][2n][31+68n][22+49n][27+60n][32+69n][4+10n][22+48n][12+26n][3+8n][24+53n][23+50n][9+21n][26+57n][18+40n][21+46n][14+31n][14+32n][30+66n][25+54n][5+11n][4+9n][6+14n][17+38n][23+51n][25+55n][20+45n][32+70n][20+44n][16+36n][26+56n][2+6n][27+58n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 34 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 58+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 58+73n. La série est alors :

1-58-6-56-36-44-70-45-55-51-38-14-9-11-54-66-32-31-46-40-57-21-50-53-8-26-48-10-69-60-49-68-2-43-12-39===72-15-67-17-37-29-3-28-18-22-35-59-64-62-19-7-41-42-27-33-16-52-23-20-65-47-25-63-4-13-24-5-71-30-61-34

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 34+73n.

Calculons 1/73 en base : 58, 131, 204, ...(58+73n) :

1/73 en base 58 = 0,0-46-4-44-28-34-55-35-43-40-30-11-7-8-42-52-25-24-36-31-45-16-39-42-6-20-38-7-54-47-38-54-1-34-9-30===57-11-53-13-29-23-2-22-14-17-27-46-50-49-15-5-32-33-21-26-12-41-18-15-51-37-19-50-3-10-19-3-56-23-48-27...

1/73 en base 131 = 0,1-104-10-100-64-78-125-80-98-91-68-25-16-19-96-118-57-55-82-71-102-37-89-95-14-46-86-17-123-107-87-122-3-77-21-69===129-26-120-30-66-52-5-50-32-39-62-105-114-111-34-12-73-75-48-59-28-93-41-35-116-84-44-113-7-23-43-8-127-53-109-61...

1/73 en base 204 = 0,2-162-16-156-100-122-195-125-153-142-106-39-25-30-150-184-89-86-128-111-159-58-139-148-22-72-134-27-192-167-136-190-5-120-33-108===201-41-187-47-103-81-8-78-50-61-97-164-178-173-53-19-114-117-75-92-44-145-64-55-181-131-69-176-11-36-67-13-198-83-170-95...

Et de manière générale en base 58+73n :

[n][46+58n][4+6n][44+56n][28+36n][34+44n][55+70n][35+45n][43+55n][40+51n][30+38n][11+14n][7+9n][8+11n][42+54n][52+66n][25+32n][24+31n][36+46n][31+40n][45+57n][16+21n][39+50n][42+53n][6+8n][20+26n][38+48n][7+10n][54+69n][47+60n][38+49n][54+68n][1+2n][34+43n][9+12n][30+39n]===[57+72n][11+15n][53+67n][13+17n][29+37n][23+29n][2+3n][22+28n][14+18n][17+22n][27+35n][46+59n][50+64n][49+62n][15+19n][5+7n][32+41n][33+42n][21+27n][26+33n][12+16n][41+52n][18+23n][15+20n][51+65n][37+47n][19+25n][50+63n][3+4n][10+13n][19+24n][3+5n][56+71n][23+30n][48+61n][27+34n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 58 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 34+73n.

Constatons que 34x58 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73