Calcul de 1/73 en base 40+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 40+73n se regroupent elles en cette série ?

1-40-67-52-36-53-3-47-55-10-35-13-9-68-19-30-32-39-27-58-57-17-23-44-8-28-25-51-69-59-24-11-2-7-61-31===72-33-6-21-37-20-70-26-18-63-38-60-64-5-54-43-41-34-46-15-16-56-50-29-65-45-48-22-4-14-49-62-71-66-12-42

Calculons 1/73 en base 40+73n (40, 113, 186, ...) :

1/73 en base 40 = 0,0-21-36-28-19-29-1-25-30-5-19-7-4-37-10-16-17-21-14-31-31-9-12-24-4-15-13-27-37-32-13-6-1-3-33-16===39-18-3-11-20-10-38-14-9-34-20-32-35-2-29-23-22-18-25-8-8-30-27-15-35-24-26-12-2-7-26-33-38-36-6-23...

1/73 en base 113 = 0,1-61-103-80-55-82-4-72-85-15-54-20-13-105-29-46-49-60-41-89-88-26-35-68-12-43-38-78-106-91-37-17-3-10-94-47===111-51-9-32-57-30-108-40-27-97-58-92-99-7-83-66-63-52-71-23-24-86-77-44-100-69-74-34-6-21-75-95-109-102-18-65...

1/73 en base 186 = 0,2-101-170-132-91-135-7-119-140-25-89-33-22-173-48-76-81-99-68-147-145-43-58-112-20-71-63-129-175-150-61-28-5-17-155-78===183-84-15-53-94-50-178-66-45-160-96-152-163-12-137-109-104-86-117-38-40-142-127-73-165-114-122-56-10-35-124-157-180-168-30-107...

Et de manière générale en base 40+73n :

[n][21+40n][36+67n][28+52n][19+36n][29+53n][1+3n][25+47n][30+55n][5+10n][19+35n][7+13n][4+9n][37+68n][10+19n][16+30n][17+32n][21+39n][14+27n][31+58n][31+57n][9+17n][12+23n][24+44n][4+8n][15+28n][13+25n][27+51n][37+69n][32+59n][13+24n][6+11n][1+2n][3+7n][33+61n][16+31n]===[39+72n][18+33n][3+6n][11+21n][20+37n][10+20n][38+70n][14+26n][9+18n][34+63n][20+38n][32+60n][35+64n][2+5n][29+54n][23+43n][22+41n][18+34n][25+46n][8+15n][8+16n][30+56n][27+50n][15+29n][35+65n][24+45n][26+48n][12+22n][2+4n][7+14n][26+49n][33+62n][38+71n][36+66n][6+12n][23+42n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 40 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 42+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 42+73n. La série est alors :

1-42-12-66-71-62-49-14-4-22-48-45-65-29-50-56-16-15-46-34-41-43-54-5-64-60-38-63-18-26-70-20-37-21-6-33===72-31-61-7-2-11-24-59-69-51-25-28-8-44-23-17-57-58-27-39-32-30-19-68-9-13-35-10-55-47-3-53-36-52-67-40

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 40+73n.

Calculons 1/73 en base : 42, 115, 188, ...(42+73n) :

1/73 en base 42 = 0,0-24-6-37-40-35-28-8-2-12-27-25-37-16-28-32-9-8-26-19-23-24-31-2-36-34-21-36-10-14-40-11-21-12-3-18===41-17-35-4-1-6-13-33-39-29-14-16-4-25-13-9-32-33-15-22-18-17-10-39-5-7-20-5-31-27-1-30-20-29-38-23...

1/73 en base 115 = 0,1-66-18-103-111-97-77-22-6-34-75-70-102-45-78-88-25-23-72-53-64-67-85-7-100-94-59-99-28-40-110-31-58-33-9-51===113-48-96-11-3-17-37-92-108-80-39-44-12-69-36-26-89-91-42-61-50-47-29-107-14-20-55-15-86-74-4-83-56-81-105-63...

1/73 en base 188 = 0,2-108-30-169-182-159-126-36-10-56-123-115-167-74-128-144-41-38-118-87-105-110-139-12-164-154-97-162-46-66-180-51-95-54-15-84===185-79-157-18-5-28-61-151-177-131-64-72-20-113-59-43-146-149-69-100-82-77-48-175-23-33-90-25-141-121-7-136-92-133-172-103...

Et de manière générale en base 42+73n :

[n][24+42n][6+12n][37+66n][40+71n][35+62n][28+49n][8+14n][2+4n][12+22n][27+48n][25+45n][37+65n][16+29n][28+50n][32+56n][9+16n][8+15n][26+46n][19+34n][23+41n][24+43n][31+54n][2+5n][36+64n][34+60n][21+38n][36+63n][10+18n][14+26n][40+70n][11+20n][21+37n][12+21n][3+6n][18+33n]===[41+72n][17+31n][35+61n][4+7n][1+2n][6+11n][13+24n][33+59n][39+69n][29+51n][14+25n][16+28n][4+8n][25+44n][13+23n][9+17n][32+57n][33+58n][15+27n][22+39n][18+32n][17+30n][10+19n][39+68n][5+9n][7+13n][20+35n][5+10n][31+55n][27+47n][1+3n][30+53n][20+36n][29+52n][38+67n][23+40n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 42 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 40+73n.

Constatons que 40x42 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73