Calcul de 1/73 en base 53+73n.

Pourquoi les périodes de n/73 en base 53+73n se regroupent elles en cette série ?

1-53-35-30-57-28-24-31-37-63-54-15-65-14-12-52-55-68-27-44-69-7-6-26-64-34-50-22-71-40-3-13-32-17-25-11===72-20-38-43-16-45-49-42-36-10-19-58-8-59-61-21-18-5-46-29-4-66-67-47-9-39-23-51-2-33-70-60-41-56-48-62

Calculons 1/73 en base 53+73n (53, 126, 199, ...) :

1/73 en base 53 = 0,0-38-25-21-41-20-17-22-26-45-39-10-47-10-8-37-39-49-19-31-50-5-4-18-46-24-36-15-51-29-2-9-23-12-18-7===52-14-27-31-11-32-35-30-26-7-13-42-5-42-44-15-13-3-33-21-2-47-48-34-6-28-16-37-1-23-50-43-29-40-34-45...

1/73 en base 126 = 0,1-91-60-51-98-48-41-53-63-108-93-25-112-24-20-89-94-117-46-75-119-12-10-44-110-58-86-37-122-69-5-22-55-29-43-18===124-34-65-74-27-77-84-72-62-17-32-100-13-101-105-36-31-8-79-50-6-113-115-81-15-67-39-88-3-56-120-103-70-96-82-107...

1/73 en base 199 = 0,2-144-95-81-155-76-65-84-100-171-147-40-177-38-32-141-149-185-73-119-188-19-16-70-174-92-136-59-193-109-8-35-87-46-68-29===196-54-103-117-43-122-133-114-98-27-51-158-21-160-166-57-49-13-125-79-10-179-182-128-24-106-62-139-5-89-190-163-111-152-130-169...

Et de manière générale en base 53+73n :

[n][38+53n][25+35n][21+30n][41+57n][20+28n][17+24n][22+31n][26+37n][45+63n][39+54n][10+15n][47+65n][10+14n][8+12n][37+52n][39+55n][49+68n][19+27n][31+44n][50+69n][5+7n][4+6n][18+26n][46+64n][24+34n][36+50n][15+22n][51+71n][29+40n][2+3n][9+13n][23+32n][12+17n][18+25n][7+11n]===[52+72n][14+20n][27+38n][31+43n][11+16n][32+45n][35+49n][30+42n][26+36n][7+10n][13+19n][42+58n][5+8n][42+59n][44+61n][15+21n][13+18n][3+5n][33+46n][21+29n][2+4n][47+66n][48+67n][34+47n][6+9n][28+39n][16+23n][37+51n][1+2n][23+33n][50+70n][43+60n][29+41n][40+56n][34+48n][45+62n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 53 modulo 73

Calcul de 1/73 en base 62+73n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 62+73n. La série est alors :

1-62-48-56-41-60-70-33-2-51-23-39-9-47-67-66-4-29-46-5-18-21-61-59-8-58-19-10-36-42-49-45-16-43-38-20===72-11-25-17-32-13-3-40-71-22-50-34-64-26-6-7-69-44-27-68-55-52-12-14-65-15-54-63-37-31-24-28-57-30-35-53

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 53+73n.

Calculons 1/73 en base : 62, 135, 208, ...(62+73n) :

1/73 en base 62 = 0,0-52-40-47-34-50-59-28-1-43-19-33-7-39-56-56-3-24-39-4-15-17-51-50-6-49-16-8-30-35-41-38-13-36-32-16===61-9-21-14-27-11-2-33-60-18-42-28-54-22-5-5-58-37-22-57-46-44-10-11-55-12-45-53-31-26-20-23-48-25-29-45...

1/73 en base 135 = 0,1-114-88-103-75-110-129-61-3-94-42-72-16-86-123-122-7-53-85-9-33-38-112-109-14-107-35-18-66-77-90-83-29-79-70-36===133-20-46-31-59-24-5-73-131-40-92-62-118-48-11-12-127-81-49-125-101-96-22-25-120-27-99-116-68-57-44-51-105-55-64-98...

1/73 en base 208 = 0,2-176-136-159-116-170-199-94-5-145-65-111-25-133-190-188-11-82-131-14-51-59-173-168-22-165-54-28-102-119-139-128-45-122-108-56===205-31-71-48-91-37-8-113-202-62-142-96-182-74-17-19-196-125-76-193-156-148-34-39-185-42-153-179-105-88-68-79-162-85-99-151...

Et de manière générale en base 62+73n :

[n][52+62n][40+48n][47+56n][34+41n][50+60n][59+70n][28+33n][1+2n][43+51n][19+23n][33+39n][7+9n][39+47n][56+67n][56+66n][3+4n][24+29n][39+46n][4+5n][15+18n][17+21n][51+61n][50+59n][6+8n][49+58n][16+19n][8+10n][30+36n][35+42n][41+49n][38+45n][13+16n][36+43n][32+38n][16+20n]===[61+72n][9+11n][21+25n][14+17n][27+32n][11+13n][2+3n][33+40n][60+71n][18+22n][42+50n][28+34n][54+64n][22+26n][5+6n][5+7n][58+69n][37+44n][22+27n][57+68n][46+55n][44+52n][10+12n][11+14n][55+65n][12+15n][45+54n][53+63n][31+37n][26+31n][20+24n][23+28n][48+57n][25+30n][29+35n][45+53n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 73 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 62 modulo 73

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 53+73n.

Constatons que 53x62 admet 1 pour reste dans la division par 73 et qu'ils sont alors inverses dans Z73