Calcul de 1/79 en base 3+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 3+79n se regroupent elles en cette série ?

1-3-9-27-2-6-18-54-4-12-36-29-8-24-72-58-16-48-65-37-32-17-51-74-64-34-23-69-49-68-46-59-19-57-13-39-38-35-26===78-76-70-52-77-73-61-25-75-67-43-50-71-55-7-21-63-31-14-42-47-62-28-5-15-45-56-10-30-11-33-20-60-22-66-40-41-44-53

Calculons 1/79 en base 3+79n (3, 82, 161, ...) :

1/79 en base 3 = 0,000100020011002201211012210212120201110===222122202211220021011210012010102021112...

1/79 en base 82 = 0,1-3-9-28-2-6-18-56-4-12-37-30-8-24-74-60-16-49-67-38-33-17-52-76-66-35-23-71-50-70-47-61-19-59-13-40-39-36-26===80-78-72-53-79-75-63-25-77-69-44-51-73-57-7-21-65-32-14-43-48-64-29-5-15-46-58-10-31-11-34-20-62-22-68-41-42-45-55...

1/79 en base 161 = 0,2-6-18-55-4-12-36-110-8-24-73-59-16-48-146-118-32-97-132-75-65-34-103-150-130-69-46-140-99-138-93-120-38-116-26-79-77-71-52===158-154-142-105-156-148-124-50-152-136-87-101-144-112-14-42-128-63-28-85-95-126-57-10-30-91-114-20-61-22-67-40-122-44-134-81-83-89-108...

Et de manière générale en base 3+79n :

[n][3n][9n][1+27n][2n][6n][18n][2+54n][4n][12n][1+36n][1+29n][8n][24n][2+72n][2+58n][16n][1+48n][2+65n][1+37n][1+32n][17n][1+51n][2+74n][2+64n][1+34n][23n][2+69n][1+49n][2+68n][1+46n][2+59n][19n][2+57n][13n][1+39n][1+38n][1+35n][26n]===[2+78n][2+76n][2+70n][1+52n][2+77n][2+73n][2+61n][25n][2+75n][2+67n][1+43n][1+50n][2+71n][2+55n][7n][21n][2+63n][1+31n][14n][1+42n][1+47n][2+62n][1+28n][5n][15n][1+45n][2+56n][10n][1+30n][11n][1+33n][20n][2+60n][22n][2+66n][1+40n][1+41n][1+44n][2+53n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 53+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 53+79n. La série est alors :

1-53-44-41-40-66-22-60-20-33-11-30-10-56-45-15-5-28-62-47-42-14-31-63-21-7-55-71-50-43-67-75-25-61-73-77-52-70-76===78-26-35-38-39-13-57-19-59-46-68-49-69-23-34-64-74-51-17-32-37-65-48-16-58-72-24-8-29-36-12-4-54-18-6-2-27-9-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+79n.

Calculons 1/79 en base : 53, 132, 211, ...(53+79n) :

1/79 en base 53 = 0,0-35-29-27-26-44-14-40-13-22-7-20-6-37-30-10-3-18-41-31-28-9-20-42-14-4-36-47-33-28-44-50-16-40-48-51-34-46-50===52-17-23-25-26-8-38-12-39-30-45-32-46-15-22-42-49-34-11-21-24-43-32-10-38-48-16-5-19-24-8-2-36-12-4-1-18-6-2...

1/79 en base 132 = 0,1-88-73-68-66-110-36-100-33-55-18-50-16-93-75-25-8-46-103-78-70-23-51-105-35-11-91-118-83-71-111-125-41-101-121-128-86-116-126===130-43-58-63-65-21-95-31-98-76-113-81-115-38-56-106-123-85-28-53-61-108-80-26-96-120-40-13-48-60-20-6-90-30-10-3-45-15-5...

1/79 en base 211 = 0,2-141-117-109-106-176-58-160-53-88-29-80-26-149-120-40-13-74-165-125-112-37-82-168-56-18-146-189-133-114-178-200-66-162-194-205-138-186-202===208-69-93-101-104-34-152-50-157-122-181-130-184-61-90-170-197-136-45-85-98-173-128-42-154-192-64-21-77-96-32-10-144-48-16-5-72-24-8...

Et de manière générale en base 53+79n :

[n][35+53n][29+44n][27+41n][26+40n][44+66n][14+22n][40+60n][13+20n][22+33n][7+11n][20+30n][6+10n][37+56n][30+45n][10+15n][3+5n][18+28n][41+62n][31+47n][28+42n][9+14n][20+31n][42+63n][14+21n][4+7n][36+55n][47+71n][33+50n][28+43n][44+67n][50+75n][16+25n][40+61n][48+73n][51+77n][34+52n][46+70n][50+76n]===[52+78n][17+26n][23+35n][25+38n][26+39n][8+13n][38+57n][12+19n][39+59n][30+46n][45+68n][32+49n][46+69n][15+23n][22+34n][42+64n][49+74n][34+51n][11+17n][21+32n][24+37n][43+65n][32+48n][10+16n][38+58n][48+72n][16+24n][5+8n][19+29n][24+36n][8+12n][2+4n][36+54n][12+18n][4+6n][1+2n][18+27n][6+9n][2+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 53 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+79n.

Constatons que 3x53 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79