Calcul de 1/79 en base 6+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 6+79n se regroupent elles en cette série ?

1-6-36-58-32-34-46-39-76-61-50-63-62-56-20-41-9-54-8-48-51-69-19-35-52-75-55-14-5-30-22-53-2-12-72-37-64-68-13===78-73-43-21-47-45-33-40-3-18-29-16-17-23-59-38-70-25-71-31-28-10-60-44-27-4-24-65-74-49-57-26-77-67-7-42-15-11-66

Calculons 1/79 en base 6+79n (6, 85, 164, ...) :

1/79 en base 6 = 0,002422325434441304033512354102140052450===553133230121114251522043201453415503105...

1/79 en base 85 = 0,1-6-38-62-34-36-49-41-81-65-53-67-66-60-21-44-9-58-8-51-54-74-20-37-55-80-59-15-5-32-23-57-2-12-77-39-68-73-13===83-78-46-22-50-48-35-43-3-19-31-17-18-24-63-40-75-26-76-33-30-10-64-47-29-4-25-69-79-52-61-27-82-72-7-45-16-11-71...

1/79 en base 164 = 0,2-12-74-120-66-70-95-80-157-126-103-130-128-116-41-85-18-112-16-99-105-143-39-72-107-155-114-29-10-62-45-110-4-24-149-76-132-141-26===161-151-89-43-97-93-68-83-6-37-60-33-35-47-122-78-145-51-147-64-58-20-124-91-56-8-49-134-153-101-118-53-159-139-14-87-31-22-137...

Et de manière générale en base 6+79n :

[n][6n][2+36n][4+58n][2+32n][2+34n][3+46n][2+39n][5+76n][4+61n][3+50n][4+63n][4+62n][4+56n][1+20n][3+41n][9n][4+54n][8n][3+48n][3+51n][5+69n][1+19n][2+35n][3+52n][5+75n][4+55n][1+14n][5n][2+30n][1+22n][4+53n][2n][12n][5+72n][2+37n][4+64n][5+68n][13n]===[5+78n][5+73n][3+43n][1+21n][3+47n][3+45n][2+33n][3+40n][3n][1+18n][2+29n][1+16n][1+17n][1+23n][4+59n][2+38n][5+70n][1+25n][5+71n][2+31n][2+28n][10n][4+60n][3+44n][2+27n][4n][1+24n][4+65n][5+74n][3+49n][4+57n][1+26n][5+77n][5+67n][7n][3+42n][1+15n][11n][5+66n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 66+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 66+79n. La série est alors :

1-66-11-15-42-7-67-77-26-57-49-74-65-24-4-27-44-60-10-28-31-71-25-70-38-59-23-17-16-29-18-3-40-33-45-47-21-43-73===78-13-68-64-37-72-12-2-53-22-30-5-14-55-75-52-35-19-69-51-48-8-54-9-41-20-56-62-63-50-61-76-39-46-34-32-58-36-6

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+79n.

Calculons 1/79 en base : 66, 145, 224, ...(66+79n) :

1/79 en base 66 = 0,0-55-9-12-35-5-55-64-21-47-40-61-54-20-3-22-36-50-8-23-25-59-20-58-31-49-19-14-13-24-15-2-33-27-37-39-17-35-60===65-10-56-53-30-60-10-1-44-18-25-4-11-45-62-43-29-15-57-42-40-6-45-7-34-16-46-51-52-41-50-63-32-38-28-26-48-30-5...

1/79 en base 145 = 0,1-121-20-27-77-12-122-141-47-104-89-135-119-44-7-49-80-110-18-51-56-130-45-128-69-108-42-31-29-53-33-5-73-60-82-86-38-78-133===143-23-124-117-67-132-22-3-97-40-55-9-25-100-137-95-64-34-126-93-88-14-99-16-75-36-102-113-115-91-111-139-71-84-62-58-106-66-11...

1/79 en base 224 = 0,2-187-31-42-119-19-189-218-73-161-138-209-184-68-11-76-124-170-28-79-87-201-70-198-107-167-65-48-45-82-51-8-113-93-127-133-59-121-206===221-36-192-181-104-204-34-5-150-62-85-14-39-155-212-147-99-53-195-144-136-22-153-25-116-56-158-175-178-141-172-215-110-130-96-90-164-102-17...

Et de manière générale en base 66+79n :

[n][55+66n][9+11n][12+15n][35+42n][5+7n][55+67n][64+77n][21+26n][47+57n][40+49n][61+74n][54+65n][20+24n][3+4n][22+27n][36+44n][50+60n][8+10n][23+28n][25+31n][59+71n][20+25n][58+70n][31+38n][49+59n][19+23n][14+17n][13+16n][24+29n][15+18n][2+3n][33+40n][27+33n][37+45n][39+47n][17+21n][35+43n][60+73n]===[65+78n][10+13n][56+68n][53+64n][30+37n][60+72n][10+12n][1+2n][44+53n][18+22n][25+30n][4+5n][11+14n][45+55n][62+75n][43+52n][29+35n][15+19n][57+69n][42+51n][40+48n][6+8n][45+54n][7+9n][34+41n][16+20n][46+56n][51+62n][52+63n][41+50n][50+61n][63+76n][32+39n][38+46n][28+34n][26+32n][48+58n][30+36n][5+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 66 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+79n.

Constatons que 6x66 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79