Calcul de 1/79 en base 7+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 7+79n se regroupent elles en cette série ?

1-7-49-27-31-59-18-47-13-12-5-35-8-56-76-58-11-77-65-60-25-17-40-43-64-53-55-69-9-63-46-6-42-57-4-28-38-29-45===78-72-30-52-48-20-61-32-66-67-74-44-71-23-3-21-68-2-14-19-54-62-39-36-15-26-24-10-70-16-33-73-37-22-75-51-41-50-34

Calculons 1/79 en base 7+79n (7, 86, 165, ...) :

1/79 en base 7 = 0,004225141103046506552133544605403502323===662441525563620160114533122061263164343...

1/79 en base 86 = 0,1-7-53-29-33-64-19-51-14-13-5-38-8-60-82-63-11-83-70-65-27-18-43-46-69-57-59-75-9-68-50-6-45-62-4-30-41-31-48===84-78-32-56-52-21-66-34-71-72-80-47-77-25-3-22-74-2-15-20-58-67-42-39-16-28-26-10-76-17-35-79-40-23-81-55-44-54-37...

1/79 en base 165 = 0,2-14-102-56-64-123-37-98-27-25-10-73-16-116-158-121-22-160-135-125-52-35-83-89-133-110-114-144-18-131-96-12-87-119-8-58-79-60-93===162-150-62-108-100-41-127-66-137-139-154-91-148-48-6-43-142-4-29-39-112-129-81-75-31-54-50-20-146-33-68-152-77-45-156-106-85-104-71...

Et de manière générale en base 7+79n :

[n][7n][4+49n][2+27n][2+31n][5+59n][1+18n][4+47n][1+13n][1+12n][5n][3+35n][8n][4+56n][6+76n][5+58n][11n][6+77n][5+65n][5+60n][2+25n][1+17n][3+40n][3+43n][5+64n][4+53n][4+55n][6+69n][9n][5+63n][4+46n][6n][3+42n][5+57n][4n][2+28n][3+38n][2+29n][3+45n]===[6+78n][6+72n][2+30n][4+52n][4+48n][1+20n][5+61n][2+32n][5+66n][5+67n][6+74n][3+44n][6+71n][2+23n][3n][1+21n][6+68n][2n][1+14n][1+19n][4+54n][5+62n][3+39n][3+36n][1+15n][2+26n][2+24n][10n][6+70n][1+16n][2+33n][6+73n][3+37n][1+22n][6+75n][4+51n][3+41n][4+50n][3+34n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 34+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 34+79n. La série est alors :

1-34-50-41-51-75-22-37-73-33-16-70-10-24-26-15-36-39-62-54-19-14-2-68-21-3-23-71-44-74-67-66-32-61-20-48-52-30-72===78-45-29-38-28-4-57-42-6-46-63-9-69-55-53-64-43-40-17-25-60-65-77-11-58-76-56-8-35-5-12-13-47-18-59-31-27-49-7

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+79n.

Calculons 1/79 en base : 34, 113, 192, ...(34+79n) :

1/79 en base 34 = 0,0-14-21-17-21-32-9-15-31-14-6-30-4-10-11-6-15-16-26-23-8-6-0-29-9-1-9-30-18-31-28-28-13-26-8-20-22-12-30===33-19-12-16-12-1-24-18-2-19-27-3-29-23-22-27-18-17-7-10-25-27-33-4-24-32-24-3-15-2-5-5-20-7-25-13-11-21-3...

1/79 en base 113 = 0,1-48-71-58-72-107-31-52-104-47-22-100-14-34-37-21-51-55-88-77-27-20-2-97-30-4-32-101-62-105-95-94-45-87-28-68-74-42-102===111-64-41-54-40-5-81-60-8-65-90-12-98-78-75-91-61-57-24-35-85-92-110-15-82-108-80-11-50-7-17-18-67-25-84-44-38-70-10...

1/79 en base 192 = 0,2-82-121-99-123-182-53-89-177-80-38-170-24-58-63-36-87-94-150-131-46-34-4-165-51-7-55-172-106-179-162-160-77-148-48-116-126-72-174===189-109-70-92-68-9-138-102-14-111-153-21-167-133-128-155-104-97-41-60-145-157-187-26-140-184-136-19-85-12-29-31-114-43-143-75-65-119-17...

Et de manière générale en base 34+79n :

[n][14+34n][21+50n][17+41n][21+51n][32+75n][9+22n][15+37n][31+73n][14+33n][6+16n][30+70n][4+10n][10+24n][11+26n][6+15n][15+36n][16+39n][26+62n][23+54n][8+19n][6+14n][2n][29+68n][9+21n][1+3n][9+23n][30+71n][18+44n][31+74n][28+67n][28+66n][13+32n][26+61n][8+20n][20+48n][22+52n][12+30n][30+72n]===[33+78n][19+45n][12+29n][16+38n][12+28n][1+4n][24+57n][18+42n][2+6n][19+46n][27+63n][3+9n][29+69n][23+55n][22+53n][27+64n][18+43n][17+40n][7+17n][10+25n][25+60n][27+65n][33+77n][4+11n][24+58n][32+76n][24+56n][3+8n][15+35n][2+5n][5+12n][5+13n][20+47n][7+18n][25+59n][13+31n][11+27n][21+49n][3+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 34 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+79n.

Constatons que 7x34 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79