Calcul de 1/79 en base 28+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 28+79n se regroupent elles en cette série ?

1-28-73-69-36-60-21-35-32-27-45-75-46-24-40-14-76-74-18-30-50-57-16-53-62-77-23-12-20-7-38-37-9-15-25-68-8-66-31===78-51-6-10-43-19-58-44-47-52-34-4-33-55-39-65-3-5-61-49-29-22-63-26-17-2-56-67-59-72-41-42-70-64-54-11-71-13-48

Calculons 1/79 en base 28+79n (28, 107, 186, ...) :

1/79 en base 28 = 0,0-9-25-24-12-21-7-12-11-9-15-26-16-8-14-4-26-26-6-10-17-20-5-18-21-27-8-4-7-2-13-13-3-5-8-24-2-23-10===27-18-2-3-15-6-20-15-16-18-12-1-11-19-13-23-1-1-21-17-10-7-22-9-6-0-19-23-20-25-14-14-24-22-19-3-25-4-17...

1/79 en base 107 = 0,1-37-98-93-48-81-28-47-43-36-60-101-62-32-54-18-102-100-24-40-67-77-21-71-83-104-31-16-27-9-51-50-12-20-33-92-10-89-41===105-69-8-13-58-25-78-59-63-70-46-5-44-74-52-88-4-6-82-66-39-29-85-35-23-2-75-90-79-97-55-56-94-86-73-14-96-17-65...

1/79 en base 186 = 0,2-65-171-162-84-141-49-82-75-63-105-176-108-56-94-32-178-174-42-70-117-134-37-124-145-181-54-28-47-16-89-87-21-35-58-160-18-155-72===183-120-14-23-101-44-136-103-110-122-80-9-77-129-91-153-7-11-143-115-68-51-148-61-40-4-131-157-138-169-96-98-164-150-127-25-167-30-113...

Et de manière générale en base 28+79n :

[n][9+28n][25+73n][24+69n][12+36n][21+60n][7+21n][12+35n][11+32n][9+27n][15+45n][26+75n][16+46n][8+24n][14+40n][4+14n][26+76n][26+74n][6+18n][10+30n][17+50n][20+57n][5+16n][18+53n][21+62n][27+77n][8+23n][4+12n][7+20n][2+7n][13+38n][13+37n][3+9n][5+15n][8+25n][24+68n][2+8n][23+66n][10+31n]===[27+78n][18+51n][2+6n][3+10n][15+43n][6+19n][20+58n][15+44n][16+47n][18+52n][12+34n][1+4n][11+33n][19+55n][13+39n][23+65n][1+3n][1+5n][21+61n][17+49n][10+29n][7+22n][22+63n][9+26n][6+17n][2n][19+56n][23+67n][20+59n][25+72n][14+41n][14+42n][24+70n][22+64n][19+54n][3+11n][25+71n][4+13n][17+48n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 28 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 48+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 48+79n. La série est alors :

1-48-13-71-11-54-64-70-42-41-72-59-67-56-2-17-26-63-22-29-49-61-5-3-65-39-55-33-4-34-52-47-44-58-19-43-10-6-51===78-31-66-8-68-25-15-9-37-38-7-20-12-23-77-62-53-16-57-50-30-18-74-76-14-40-24-46-75-45-27-32-35-21-60-36-69-73-28

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 28+79n.

Calculons 1/79 en base : 48, 127, 206, ...(48+79n) :

1/79 en base 48 = 0,0-29-7-43-6-32-38-42-25-24-43-35-40-34-1-10-15-38-13-17-29-37-3-1-39-23-33-20-2-20-31-28-26-35-11-26-6-3-30===47-18-40-4-41-15-9-5-22-23-4-12-7-13-46-37-32-9-34-30-18-10-44-46-8-24-14-27-45-27-16-19-21-12-36-21-41-44-17...

1/79 en base 127 = 0,1-77-20-114-17-86-102-112-67-65-115-94-107-90-3-27-41-101-35-46-78-98-8-4-104-62-88-53-6-54-83-75-70-93-30-69-16-9-81===125-49-106-12-109-40-24-14-59-61-11-32-19-36-123-99-85-25-91-80-48-28-118-122-22-64-38-73-120-72-43-51-56-33-96-57-110-117-45...

1/79 en base 206 = 0,2-125-33-185-28-140-166-182-109-106-187-153-174-146-5-44-67-164-57-75-127-159-13-7-169-101-143-86-10-88-135-122-114-151-49-112-26-15-132===203-80-172-20-177-65-39-23-96-99-18-52-31-59-200-161-138-41-148-130-78-46-192-198-36-104-62-119-195-117-70-83-91-54-156-93-179-190-73...

Et de manière générale en base 48+79n :

[n][29+48n][7+13n][43+71n][6+11n][32+54n][38+64n][42+70n][25+42n][24+41n][43+72n][35+59n][40+67n][34+56n][1+2n][10+17n][15+26n][38+63n][13+22n][17+29n][29+49n][37+61n][3+5n][1+3n][39+65n][23+39n][33+55n][20+33n][2+4n][20+34n][31+52n][28+47n][26+44n][35+58n][11+19n][26+43n][6+10n][3+6n][30+51n]===[47+78n][18+31n][40+66n][4+8n][41+68n][15+25n][9+15n][5+9n][22+37n][23+38n][4+7n][12+20n][7+12n][13+23n][46+77n][37+62n][32+53n][9+16n][34+57n][30+50n][18+30n][10+18n][44+74n][46+76n][8+14n][24+40n][14+24n][27+46n][45+75n][27+45n][16+27n][19+32n][21+35n][12+21n][36+60n][21+36n][41+69n][44+73n][17+28n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 48 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 28+79n.

Constatons que 28x48 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79