Calcul de 1/79 en base 29+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 29+79n se regroupent elles en cette série ?

1-29-51-57-73-63-10-53-36-17-19-77-21-56-44-12-32-59-52-7-45-41-4-37-46-70-55-15-40-54-65-68-76-71-5-66-18-48-49===78-50-28-22-6-16-69-26-43-62-60-2-58-23-35-67-47-20-27-72-34-38-75-42-33-9-24-64-39-25-14-11-3-8-74-13-61-31-30

Calculons 1/79 en base 29+79n (29, 108, 187, ...) :

1/79 en base 29 = 0,0-10-18-20-26-23-3-19-13-6-6-28-7-20-16-4-11-21-19-2-16-15-1-13-16-25-20-5-14-19-23-24-27-26-1-24-6-17-17===28-18-10-8-2-5-25-9-15-22-22-0-21-8-12-24-17-7-9-26-12-13-27-15-12-3-8-23-14-9-5-4-1-2-27-4-22-11-11...

1/79 en base 108 = 0,1-39-69-77-99-86-13-72-49-23-25-105-28-76-60-16-43-80-71-9-61-56-5-50-62-95-75-20-54-73-88-92-103-97-6-90-24-65-66===106-68-38-30-8-21-94-35-58-84-82-2-79-31-47-91-64-27-36-98-46-51-102-57-45-12-32-87-53-34-19-15-4-10-101-17-83-42-41...

1/79 en base 187 = 0,2-68-120-134-172-149-23-125-85-40-44-182-49-132-104-28-75-139-123-16-106-97-9-87-108-165-130-35-94-127-153-160-179-168-11-156-42-113-115===184-118-66-52-14-37-163-61-101-146-142-4-137-54-82-158-111-47-63-170-80-89-177-99-78-21-56-151-92-59-33-26-7-18-175-30-144-73-71...

Et de manière générale en base 29+79n :

[n][10+29n][18+51n][20+57n][26+73n][23+63n][3+10n][19+53n][13+36n][6+17n][6+19n][28+77n][7+21n][20+56n][16+44n][4+12n][11+32n][21+59n][19+52n][2+7n][16+45n][15+41n][1+4n][13+37n][16+46n][25+70n][20+55n][5+15n][14+40n][19+54n][23+65n][24+68n][27+76n][26+71n][1+5n][24+66n][6+18n][17+48n][17+49n]===[28+78n][18+50n][10+28n][8+22n][2+6n][5+16n][25+69n][9+26n][15+43n][22+62n][22+60n][2n][21+58n][8+23n][12+35n][24+67n][17+47n][7+20n][9+27n][26+72n][12+34n][13+38n][27+75n][15+42n][12+33n][3+9n][8+24n][23+64n][14+39n][9+25n][5+14n][4+11n][1+3n][2+8n][27+74n][4+13n][22+61n][11+31n][11+30n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 29 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 30+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 30+79n. La série est alors :

1-30-31-61-13-74-8-3-11-14-25-39-64-24-9-33-42-75-38-34-72-27-20-47-67-35-23-58-2-60-62-43-26-69-16-6-22-28-50===78-49-48-18-66-5-71-76-68-65-54-40-15-55-70-46-37-4-41-45-7-52-59-32-12-44-56-21-77-19-17-36-53-10-63-73-57-51-29

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 29+79n.

Calculons 1/79 en base : 30, 109, 188, ...(30+79n) :

1/79 en base 30 = 0,0-11-11-23-4-28-3-1-4-5-9-14-24-9-3-12-15-28-14-12-27-10-7-17-25-13-8-22-0-22-23-16-9-26-6-2-8-10-18===29-18-18-6-25-1-26-28-25-24-20-15-5-20-26-17-14-1-15-17-2-19-22-12-4-16-21-7-29-7-6-13-20-3-23-27-21-19-11...

1/79 en base 109 = 0,1-41-42-84-17-102-11-4-15-19-34-53-88-33-12-45-57-103-52-46-99-37-27-64-92-48-31-80-2-82-85-59-35-95-22-8-30-38-68===107-67-66-24-91-6-97-104-93-89-74-55-20-75-96-63-51-5-56-62-9-71-81-44-16-60-77-28-106-26-23-49-73-13-86-100-78-70-40...

1/79 en base 188 = 0,2-71-73-145-30-176-19-7-26-33-59-92-152-57-21-78-99-178-90-80-171-64-47-111-159-83-54-138-4-142-147-102-61-164-38-14-52-66-118===185-116-114-42-157-11-168-180-161-154-128-95-35-130-166-109-88-9-97-107-16-123-140-76-28-104-133-49-183-45-40-85-126-23-149-173-135-121-69...

Et de manière générale en base 30+79n :

[n][11+30n][11+31n][23+61n][4+13n][28+74n][3+8n][1+3n][4+11n][5+14n][9+25n][14+39n][24+64n][9+24n][3+9n][12+33n][15+42n][28+75n][14+38n][12+34n][27+72n][10+27n][7+20n][17+47n][25+67n][13+35n][8+23n][22+58n][2n][22+60n][23+62n][16+43n][9+26n][26+69n][6+16n][2+6n][8+22n][10+28n][18+50n]===[29+78n][18+49n][18+48n][6+18n][25+66n][1+5n][26+71n][28+76n][25+68n][24+65n][20+54n][15+40n][5+15n][20+55n][26+70n][17+46n][14+37n][1+4n][15+41n][17+45n][2+7n][19+52n][22+59n][12+32n][4+12n][16+44n][21+56n][7+21n][29+77n][7+19n][6+17n][13+36n][20+53n][3+10n][23+63n][27+73n][21+57n][19+51n][11+29n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 30 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 29+79n.

Constatons que 29x30 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79