Calcul de 1/79 en base 35+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 35+79n se regroupent elles en cette série ?

1-35-40-57-20-68-10-34-5-17-42-48-21-24-50-12-25-6-52-3-26-41-13-60-46-30-23-15-51-47-65-63-72-71-36-75-18-77-9===78-44-39-22-59-11-69-45-74-62-37-31-58-55-29-67-54-73-27-76-53-38-66-19-33-49-56-64-28-32-14-16-7-8-43-4-61-2-70

Calculons 1/79 en base 35+79n (35, 114, 193, ...) :

1/79 en base 35 = 0,0-15-17-25-8-30-4-15-2-7-18-21-9-10-22-5-11-2-23-1-11-18-5-26-20-13-10-6-22-20-28-27-31-31-15-33-7-34-3===34-19-17-9-26-4-30-19-32-27-16-13-25-24-12-29-23-32-11-33-23-16-29-8-14-21-24-28-12-14-6-7-3-3-19-1-27-0-31...

1/79 en base 114 = 0,1-50-57-82-28-98-14-49-7-24-60-69-30-34-72-17-36-8-75-4-37-59-18-86-66-43-33-21-73-67-93-90-103-102-51-108-25-111-12===112-63-56-31-85-15-99-64-106-89-53-44-83-79-41-96-77-105-38-109-76-54-95-27-47-70-80-92-40-46-20-23-10-11-62-5-88-2-101...

1/79 en base 193 = 0,2-85-97-139-48-166-24-83-12-41-102-117-51-58-122-29-61-14-127-7-63-100-31-146-112-73-56-36-124-114-158-153-175-173-87-183-43-188-21===190-107-95-53-144-26-168-109-180-151-90-75-141-134-70-163-131-178-65-185-129-92-161-46-80-119-136-156-68-78-34-39-17-19-105-9-149-4-171...

Et de manière générale en base 35+79n :

[n][15+35n][17+40n][25+57n][8+20n][30+68n][4+10n][15+34n][2+5n][7+17n][18+42n][21+48n][9+21n][10+24n][22+50n][5+12n][11+25n][2+6n][23+52n][1+3n][11+26n][18+41n][5+13n][26+60n][20+46n][13+30n][10+23n][6+15n][22+51n][20+47n][28+65n][27+63n][31+72n][31+71n][15+36n][33+75n][7+18n][34+77n][3+9n]===[34+78n][19+44n][17+39n][9+22n][26+59n][4+11n][30+69n][19+45n][32+74n][27+62n][16+37n][13+31n][25+58n][24+55n][12+29n][29+67n][23+54n][32+73n][11+27n][33+76n][23+53n][16+38n][29+66n][8+19n][14+33n][21+49n][24+56n][28+64n][12+28n][14+32n][6+14n][7+16n][3+7n][3+8n][19+43n][1+4n][27+61n][2n][31+70n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 70+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 70+79n. La série est alors :

1-70-2-61-4-43-8-7-16-14-32-28-64-56-49-33-19-66-38-53-76-27-73-54-67-29-55-58-31-37-62-74-45-69-11-59-22-39-44===78-9-77-18-75-36-71-72-63-65-47-51-15-23-30-46-60-13-41-26-3-52-6-25-12-50-24-21-48-42-17-5-34-10-68-20-57-40-35

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 35+79n.

Calculons 1/79 en base : 70, 149, 228, ...(70+79n) :

1/79 en base 70 = 0,0-62-1-54-3-38-7-6-14-12-28-24-56-49-43-29-16-58-33-46-67-23-64-47-59-25-48-51-27-32-54-65-39-61-9-52-19-34-38===69-7-68-15-66-31-62-63-55-57-41-45-13-20-26-40-53-11-36-23-2-46-5-22-10-44-21-18-42-37-15-4-30-8-60-17-50-35-31...

1/79 en base 149 = 0,1-132-3-115-7-81-15-13-30-26-60-52-120-105-92-62-35-124-71-99-143-50-137-101-126-54-103-109-58-69-116-139-84-130-20-111-41-73-82===147-16-145-33-141-67-133-135-118-122-88-96-28-43-56-86-113-24-77-49-5-98-11-47-22-94-45-39-90-79-32-9-64-18-128-37-107-75-66...

1/79 en base 228 = 0,2-202-5-176-11-124-23-20-46-40-92-80-184-161-141-95-54-190-109-152-219-77-210-155-193-83-158-167-89-106-178-213-129-199-31-170-63-112-126===225-25-222-51-216-103-204-207-181-187-135-147-43-66-86-132-173-37-118-75-8-150-17-72-34-144-69-60-138-121-49-14-98-28-196-57-164-115-101...

Et de manière générale en base 70+79n :

[n][62+70n][1+2n][54+61n][3+4n][38+43n][7+8n][6+7n][14+16n][12+14n][28+32n][24+28n][56+64n][49+56n][43+49n][29+33n][16+19n][58+66n][33+38n][46+53n][67+76n][23+27n][64+73n][47+54n][59+67n][25+29n][48+55n][51+58n][27+31n][32+37n][54+62n][65+74n][39+45n][61+69n][9+11n][52+59n][19+22n][34+39n][38+44n]===[69+78n][7+9n][68+77n][15+18n][66+75n][31+36n][62+71n][63+72n][55+63n][57+65n][41+47n][45+51n][13+15n][20+23n][26+30n][40+46n][53+60n][11+13n][36+41n][23+26n][2+3n][46+52n][5+6n][22+25n][10+12n][44+50n][21+24n][18+21n][42+48n][37+42n][15+17n][4+5n][30+34n][8+10n][60+68n][17+20n][50+57n][35+40n][31+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 70 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 35+79n.

Constatons que 35x70 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79