Calcul de 1/79 en base 37+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 37+79n se regroupent elles en cette série ?

1-37-26-14-44-48-38-63-40-58-13-7-22-24-19-71-20-29-46-43-11-12-49-75-10-54-23-61-45-6-64-77-5-27-51-70-62-3-32===78-42-53-65-35-31-41-16-39-21-66-72-57-55-60-8-59-50-33-36-68-67-30-4-69-25-56-18-34-73-15-2-74-52-28-9-17-76-47

Calculons 1/79 en base 37+79n (37, 116, 195, ...) :

1/79 en base 37 = 0,0-17-12-6-20-22-17-29-18-27-6-3-10-11-8-33-9-13-21-20-5-5-22-35-4-25-10-28-21-2-29-36-2-12-23-32-29-1-14===36-19-24-30-16-14-19-7-18-9-30-33-26-25-28-3-27-23-15-16-31-31-14-1-32-11-26-8-15-34-7-0-34-24-13-4-7-35-22...

1/79 en base 116 = 0,1-54-38-20-64-70-55-92-58-85-19-10-32-35-27-104-29-42-67-63-16-17-71-110-14-79-33-89-66-8-93-113-7-39-74-102-91-4-46===114-61-77-95-51-45-60-23-57-30-96-105-83-80-88-11-86-73-48-52-99-98-44-5-101-36-82-26-49-107-22-2-108-76-41-13-24-111-69...

1/79 en base 195 = 0,2-91-64-34-108-118-93-155-98-143-32-17-54-59-46-175-49-71-113-106-27-29-120-185-24-133-56-150-111-14-157-190-12-66-125-172-153-7-78===192-103-130-160-86-76-101-39-96-51-162-177-140-135-148-19-145-123-81-88-167-165-74-9-170-61-138-44-83-180-37-4-182-128-69-22-41-187-116...

Et de manière générale en base 37+79n :

[n][17+37n][12+26n][6+14n][20+44n][22+48n][17+38n][29+63n][18+40n][27+58n][6+13n][3+7n][10+22n][11+24n][8+19n][33+71n][9+20n][13+29n][21+46n][20+43n][5+11n][5+12n][22+49n][35+75n][4+10n][25+54n][10+23n][28+61n][21+45n][2+6n][29+64n][36+77n][2+5n][12+27n][23+51n][32+70n][29+62n][1+3n][14+32n]===[36+78n][19+42n][24+53n][30+65n][16+35n][14+31n][19+41n][7+16n][18+39n][9+21n][30+66n][33+72n][26+57n][25+55n][28+60n][3+8n][27+59n][23+50n][15+33n][16+36n][31+68n][31+67n][14+30n][1+4n][32+69n][11+25n][26+56n][8+18n][15+34n][34+73n][7+15n][2n][34+74n][24+52n][13+28n][4+9n][7+17n][35+76n][22+47n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 37 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 47+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 47+79n. La série est alors :

1-47-76-17-9-28-52-74-2-15-73-34-18-56-25-69-4-30-67-68-36-33-50-59-8-60-55-57-72-66-21-39-16-41-31-35-65-53-42===78-32-3-62-70-51-27-5-77-64-6-45-61-23-54-10-75-49-12-11-43-46-29-20-71-19-24-22-7-13-58-40-63-38-48-44-14-26-37

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 37+79n.

Calculons 1/79 en base : 47, 126, 205, ...(47+79n) :

1/79 en base 47 = 0,0-27-45-10-5-16-30-44-1-8-43-20-10-33-14-41-2-17-39-40-21-19-29-35-4-35-32-33-42-39-12-23-9-24-18-20-38-31-24===46-19-1-36-41-30-16-2-45-38-3-26-36-13-32-5-44-29-7-6-25-27-17-11-42-11-14-13-4-7-34-23-37-22-28-26-8-15-22...

1/79 en base 126 = 0,1-74-121-27-14-44-82-118-3-23-116-54-28-89-39-110-6-47-106-108-57-52-79-94-12-95-87-90-114-105-33-62-25-65-49-55-103-84-66===124-51-4-98-111-81-43-7-122-102-9-71-97-36-86-15-119-78-19-17-68-73-46-31-113-30-38-35-11-20-92-63-100-60-76-70-22-41-59...

1/79 en base 205 = 0,2-121-197-44-23-72-134-192-5-38-189-88-46-145-64-179-10-77-173-176-93-85-129-153-20-155-142-147-186-171-54-101-41-106-80-90-168-137-108===202-83-7-160-181-132-70-12-199-166-15-116-158-59-140-25-194-127-31-28-111-119-75-51-184-49-62-57-18-33-150-103-163-98-124-114-36-67-96...

Et de manière générale en base 47+79n :

[n][27+47n][45+76n][10+17n][5+9n][16+28n][30+52n][44+74n][1+2n][8+15n][43+73n][20+34n][10+18n][33+56n][14+25n][41+69n][2+4n][17+30n][39+67n][40+68n][21+36n][19+33n][29+50n][35+59n][4+8n][35+60n][32+55n][33+57n][42+72n][39+66n][12+21n][23+39n][9+16n][24+41n][18+31n][20+35n][38+65n][31+53n][24+42n]===[46+78n][19+32n][1+3n][36+62n][41+70n][30+51n][16+27n][2+5n][45+77n][38+64n][3+6n][26+45n][36+61n][13+23n][32+54n][5+10n][44+75n][29+49n][7+12n][6+11n][25+43n][27+46n][17+29n][11+20n][42+71n][11+19n][14+24n][13+22n][4+7n][7+13n][34+58n][23+40n][37+63n][22+38n][28+48n][26+44n][8+14n][15+26n][22+37n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 47 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 37+79n.

Constatons que 37x47 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79