Calcul de 1/79 en base 39+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 39+79n se regroupent elles en cette série ?

1-39-20-69-5-37-21-29-25-27-26-66-46-56-51-14-72-43-18-70-44-57-11-34-62-48-55-12-73-3-38-60-49-15-32-63-8-75-2===78-40-59-10-74-42-58-50-54-52-53-13-33-23-28-65-7-36-61-9-35-22-68-45-17-31-24-67-6-76-41-19-30-64-47-16-71-4-77

Calculons 1/79 en base 39+79n (39, 118, 197, ...) :

1/79 en base 39 = 0,0-19-9-34-2-18-10-14-12-13-12-32-22-27-25-6-35-21-8-34-21-28-5-16-30-23-27-5-36-1-18-29-24-7-15-31-3-37-0===38-19-29-4-36-20-28-24-26-25-26-6-16-11-13-32-3-17-30-4-17-10-33-22-8-15-11-33-2-37-20-9-14-31-23-7-35-1-38...

1/79 en base 118 = 0,1-58-29-103-7-55-31-43-37-40-38-98-68-83-76-20-107-64-26-104-65-85-16-50-92-71-82-17-109-4-56-89-73-22-47-94-11-112-2===116-59-88-14-110-62-86-74-80-77-79-19-49-34-41-97-10-53-91-13-52-32-101-67-25-46-35-100-8-113-61-28-44-95-70-23-106-5-115...

1/79 en base 197 = 0,2-97-49-172-12-92-52-72-62-67-64-164-114-139-127-34-179-107-44-174-109-142-27-84-154-119-137-29-182-7-94-149-122-37-79-157-19-187-4===194-99-147-24-184-104-144-124-134-129-132-32-82-57-69-162-17-89-152-22-87-54-169-112-42-77-59-167-14-189-102-47-74-159-117-39-177-9-192...

Et de manière générale en base 39+79n :

[n][19+39n][9+20n][34+69n][2+5n][18+37n][10+21n][14+29n][12+25n][13+27n][12+26n][32+66n][22+46n][27+56n][25+51n][6+14n][35+72n][21+43n][8+18n][34+70n][21+44n][28+57n][5+11n][16+34n][30+62n][23+48n][27+55n][5+12n][36+73n][1+3n][18+38n][29+60n][24+49n][7+15n][15+32n][31+63n][3+8n][37+75n][2n]===[38+78n][19+40n][29+59n][4+10n][36+74n][20+42n][28+58n][24+50n][26+54n][25+52n][26+53n][6+13n][16+33n][11+23n][13+28n][32+65n][3+7n][17+36n][30+61n][4+9n][17+35n][10+22n][33+68n][22+45n][8+17n][15+31n][11+24n][33+67n][2+6n][37+76n][20+41n][9+19n][14+30n][31+64n][23+47n][7+16n][35+71n][1+4n][38+77n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 39 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 77+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 77+79n. La série est alors :

1-77-4-71-16-47-64-30-19-41-76-6-67-24-31-17-45-68-22-35-9-61-36-7-65-28-23-33-13-53-52-54-50-58-42-74-10-59-40===78-2-75-8-63-32-15-49-60-38-3-73-12-55-48-62-34-11-57-44-70-18-43-72-14-51-56-46-66-26-27-25-29-21-37-5-69-20-39

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 39+79n.

Calculons 1/79 en base : 77, 156, 235, ...(77+79n) :

1/79 en base 77 = 0,0-75-3-69-15-45-62-29-18-39-74-5-65-23-30-16-43-66-21-34-8-59-35-6-63-27-22-32-12-51-50-52-48-56-40-72-9-57-38===76-1-73-7-61-31-14-47-58-37-2-71-11-53-46-60-33-10-55-42-68-17-41-70-13-49-54-44-64-25-26-24-28-20-36-4-67-19-38...

1/79 en base 156 = 0,1-152-7-140-31-92-126-59-37-80-150-11-132-47-61-33-88-134-43-69-17-120-71-13-128-55-45-65-25-104-102-106-98-114-82-146-19-116-78===154-3-148-15-124-63-29-96-118-75-5-144-23-108-94-122-67-21-112-86-138-35-84-142-27-100-110-90-130-51-53-49-57-41-73-9-136-39-77...

1/79 en base 235 = 0,2-229-11-211-47-139-190-89-56-121-226-17-199-71-92-50-133-202-65-104-26-181-107-20-193-83-68-98-38-157-154-160-148-172-124-220-29-175-118===232-5-223-23-187-95-44-145-178-113-8-217-35-163-142-184-101-32-169-130-208-53-127-214-41-151-166-136-196-77-80-74-86-62-110-14-205-59-116...

Et de manière générale en base 77+79n :

[n][75+77n][3+4n][69+71n][15+16n][45+47n][62+64n][29+30n][18+19n][39+41n][74+76n][5+6n][65+67n][23+24n][30+31n][16+17n][43+45n][66+68n][21+22n][34+35n][8+9n][59+61n][35+36n][6+7n][63+65n][27+28n][22+23n][32+33n][12+13n][51+53n][50+52n][52+54n][48+50n][56+58n][40+42n][72+74n][9+10n][57+59n][38+40n]===[76+78n][1+2n][73+75n][7+8n][61+63n][31+32n][14+15n][47+49n][58+60n][37+38n][2+3n][71+73n][11+12n][53+55n][46+48n][60+62n][33+34n][10+11n][55+57n][42+44n][68+70n][17+18n][41+43n][70+72n][13+14n][49+51n][54+56n][44+46n][64+66n][25+26n][26+27n][24+25n][28+29n][20+21n][36+37n][4+5n][67+69n][19+20n][38+39n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 77 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 39+79n.

Constatons que 39x77 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79