Calcul de 1/79 en base 43+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 43+79n se regroupent elles en cette série ?

1-43-32-33-76-29-62-59-9-71-51-60-52-24-5-57-2-7-64-66-73-58-45-39-18-63-23-41-25-48-10-35-4-14-49-53-67-37-11===78-36-47-46-3-50-17-20-70-8-28-19-27-55-74-22-77-72-15-13-6-21-34-40-61-16-56-38-54-31-69-44-75-65-30-26-12-42-68

Calculons 1/79 en base 43+79n (43, 122, 201, ...) :

1/79 en base 43 = 0,0-23-17-17-41-15-33-32-4-38-27-32-28-13-2-31-1-3-34-35-39-31-24-21-9-34-12-22-13-26-5-19-2-7-26-28-36-20-5===42-19-25-25-1-27-9-10-38-4-15-10-14-29-40-11-41-39-8-7-3-11-18-21-33-8-30-20-29-16-37-23-40-35-16-14-6-22-37...

1/79 en base 122 = 0,1-66-49-50-117-44-95-91-13-109-78-92-80-37-7-88-3-10-98-101-112-89-69-60-27-97-35-63-38-74-15-54-6-21-75-81-103-57-16===120-55-72-71-4-77-26-30-108-12-43-29-41-84-114-33-118-111-23-20-9-32-52-61-94-24-86-58-83-47-106-67-115-100-46-40-18-64-105...

1/79 en base 201 = 0,2-109-81-83-193-73-157-150-22-180-129-152-132-61-12-145-5-17-162-167-185-147-114-99-45-160-58-104-63-122-25-89-10-35-124-134-170-94-27===198-91-119-117-7-127-43-50-178-20-71-48-68-139-188-55-195-183-38-33-15-53-86-101-155-40-142-96-137-78-175-111-190-165-76-66-30-106-173...

Et de manière générale en base 43+79n :

[n][23+43n][17+32n][17+33n][41+76n][15+29n][33+62n][32+59n][4+9n][38+71n][27+51n][32+60n][28+52n][13+24n][2+5n][31+57n][1+2n][3+7n][34+64n][35+66n][39+73n][31+58n][24+45n][21+39n][9+18n][34+63n][12+23n][22+41n][13+25n][26+48n][5+10n][19+35n][2+4n][7+14n][26+49n][28+53n][36+67n][20+37n][5+11n]===[42+78n][19+36n][25+47n][25+46n][1+3n][27+50n][9+17n][10+20n][38+70n][4+8n][15+28n][10+19n][14+27n][29+55n][40+74n][11+22n][41+77n][39+72n][8+15n][7+13n][3+6n][11+21n][18+34n][21+40n][33+61n][8+16n][30+56n][20+38n][29+54n][16+31n][37+69n][23+44n][40+75n][35+65n][16+30n][14+26n][6+12n][22+42n][37+68n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 43 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 68+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 68+79n. La série est alors :

1-68-42-12-26-30-65-75-44-69-31-54-38-56-16-61-40-34-21-6-13-15-72-77-22-74-55-27-19-28-8-70-20-17-50-3-46-47-36===78-11-37-67-53-49-14-4-35-10-48-25-41-23-63-18-39-45-58-73-66-64-7-2-57-5-24-52-60-51-71-9-59-62-29-76-33-32-43

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 43+79n.

Calculons 1/79 en base : 68, 147, 226, ...(68+79n) :

1/79 en base 68 = 0,0-58-36-10-22-25-55-64-37-59-26-46-32-48-13-52-34-29-18-5-11-12-61-66-18-63-47-23-16-24-6-60-17-14-43-2-39-40-30===67-9-31-57-45-42-12-3-30-8-41-21-35-19-54-15-33-38-49-62-56-55-6-1-49-4-20-44-51-43-61-7-50-53-24-65-28-27-37...

1/79 en base 147 = 0,1-126-78-22-48-55-120-139-81-128-57-100-70-104-29-113-74-63-39-11-24-27-133-143-40-137-102-50-35-52-14-130-37-31-93-5-85-87-66===145-20-68-124-98-91-26-7-65-18-89-46-76-42-117-33-72-83-107-135-122-119-13-3-106-9-44-96-111-94-132-16-109-115-53-141-61-59-80...

1/79 en base 226 = 0,2-194-120-34-74-85-185-214-125-197-88-154-108-160-45-174-114-97-60-17-37-42-205-220-62-211-157-77-54-80-22-200-57-48-143-8-131-134-102===223-31-105-191-151-140-40-11-100-28-137-71-117-65-180-51-111-128-165-208-188-183-20-5-163-14-68-148-171-145-203-25-168-177-82-217-94-91-123...

Et de manière générale en base 68+79n :

[n][58+68n][36+42n][10+12n][22+26n][25+30n][55+65n][64+75n][37+44n][59+69n][26+31n][46+54n][32+38n][48+56n][13+16n][52+61n][34+40n][29+34n][18+21n][5+6n][11+13n][12+15n][61+72n][66+77n][18+22n][63+74n][47+55n][23+27n][16+19n][24+28n][6+8n][60+70n][17+20n][14+17n][43+50n][2+3n][39+46n][40+47n][30+36n]===[67+78n][9+11n][31+37n][57+67n][45+53n][42+49n][12+14n][3+4n][30+35n][8+10n][41+48n][21+25n][35+41n][19+23n][54+63n][15+18n][33+39n][38+45n][49+58n][62+73n][56+66n][55+64n][6+7n][1+2n][49+57n][4+5n][20+24n][44+52n][51+60n][43+51n][61+71n][7+9n][50+59n][53+62n][24+29n][65+76n][28+33n][27+32n][37+43n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 68 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 43+79n.

Constatons que 43x68 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79