Calcul de 1/79 en base 54+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 54+79n se regroupent elles en cette série ?

1-54-72-17-49-39-52-43-31-15-20-53-18-24-32-69-13-70-67-63-5-33-44-6-8-37-23-57-76-75-21-28-11-41-2-29-65-34-19===78-25-7-62-30-40-27-36-48-64-59-26-61-55-47-10-66-9-12-16-74-46-35-73-71-42-56-22-3-4-58-51-68-38-77-50-14-45-60

Calculons 1/79 en base 54+79n (54, 133, 212, ...) :

1/79 en base 54 = 0,0-36-49-11-33-26-35-29-21-10-13-36-12-16-21-47-8-47-45-43-3-22-30-4-5-25-15-38-51-51-14-19-7-28-1-19-44-23-12===53-17-4-42-20-27-18-24-32-43-40-17-41-37-32-6-45-6-8-10-50-31-23-49-48-28-38-15-2-2-39-34-46-25-52-34-9-30-41...

1/79 en base 133 = 0,1-90-121-28-82-65-87-72-52-25-33-89-30-40-53-116-21-117-112-106-8-55-74-10-13-62-38-95-127-126-35-47-18-69-3-48-109-57-31===131-42-11-104-50-67-45-60-80-107-99-43-102-92-79-16-111-15-20-26-124-77-58-122-119-70-94-37-5-6-97-85-114-63-129-84-23-75-101...

1/79 en base 212 = 0,2-144-193-45-131-104-139-115-83-40-53-142-48-64-85-185-34-187-179-169-13-88-118-16-21-99-61-152-203-201-56-75-29-110-5-77-174-91-50===209-67-18-166-80-107-72-96-128-171-158-69-163-147-126-26-177-24-32-42-198-123-93-195-190-112-150-59-8-10-155-136-182-101-206-134-37-120-161...

Et de manière générale en base 54+79n :

[n][36+54n][49+72n][11+17n][33+49n][26+39n][35+52n][29+43n][21+31n][10+15n][13+20n][36+53n][12+18n][16+24n][21+32n][47+69n][8+13n][47+70n][45+67n][43+63n][3+5n][22+33n][30+44n][4+6n][5+8n][25+37n][15+23n][38+57n][51+76n][51+75n][14+21n][19+28n][7+11n][28+41n][1+2n][19+29n][44+65n][23+34n][12+19n]===[53+78n][17+25n][4+7n][42+62n][20+30n][27+40n][18+27n][24+36n][32+48n][43+64n][40+59n][17+26n][41+61n][37+55n][32+47n][6+10n][45+66n][6+9n][8+12n][10+16n][50+74n][31+46n][23+35n][49+73n][48+71n][28+42n][38+56n][15+22n][2+3n][2+4n][39+58n][34+51n][46+68n][25+38n][52+77n][34+50n][9+14n][30+45n][41+60n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 54 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 60+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 60+79n. La série est alors :

1-60-45-14-50-77-38-68-51-58-4-3-22-56-42-71-73-35-46-74-16-12-9-66-10-47-55-61-26-59-64-48-36-27-40-30-62-7-25===78-19-34-65-29-2-41-11-28-21-75-76-57-23-37-8-6-44-33-5-63-67-70-13-69-32-24-18-53-20-15-31-43-52-39-49-17-72-54

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 54+79n.

Calculons 1/79 en base : 60, 139, 218, ...(60+79n) :

1/79 en base 60 = 0,0-45-34-10-37-58-28-51-38-44-3-2-16-42-31-53-55-26-34-56-12-9-6-50-7-35-41-46-19-44-48-36-27-20-30-22-47-5-18===59-14-25-49-22-1-31-8-21-15-56-57-43-17-28-6-4-33-25-3-47-50-53-9-52-24-18-13-40-15-11-23-32-39-29-37-12-54-41...

1/79 en base 139 = 0,1-105-79-24-87-135-66-119-89-102-7-5-38-98-73-124-128-61-80-130-28-21-15-116-17-82-96-107-45-103-112-84-63-47-70-52-109-12-43===137-33-59-114-51-3-72-19-49-36-131-133-100-40-65-14-10-77-58-8-110-117-123-22-121-56-42-31-93-35-26-54-75-91-68-86-29-126-95...

1/79 en base 218 = 0,2-165-124-38-137-212-104-187-140-160-11-8-60-154-115-195-201-96-126-204-44-33-24-182-27-129-151-168-71-162-176-132-99-74-110-82-171-19-68===215-52-93-179-80-5-113-30-77-57-206-209-157-63-102-22-16-121-91-13-173-184-193-35-190-88-66-49-146-55-41-85-118-143-107-135-46-198-149...

Et de manière générale en base 60+79n :

[n][45+60n][34+45n][10+14n][37+50n][58+77n][28+38n][51+68n][38+51n][44+58n][3+4n][2+3n][16+22n][42+56n][31+42n][53+71n][55+73n][26+35n][34+46n][56+74n][12+16n][9+12n][6+9n][50+66n][7+10n][35+47n][41+55n][46+61n][19+26n][44+59n][48+64n][36+48n][27+36n][20+27n][30+40n][22+30n][47+62n][5+7n][18+25n]===[59+78n][14+19n][25+34n][49+65n][22+29n][1+2n][31+41n][8+11n][21+28n][15+21n][56+75n][57+76n][43+57n][17+23n][28+37n][6+8n][4+6n][33+44n][25+33n][3+5n][47+63n][50+67n][53+70n][9+13n][52+69n][24+32n][18+24n][13+18n][40+53n][15+20n][11+15n][23+31n][32+43n][39+52n][29+39n][37+49n][12+17n][54+72n][41+54n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 60 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 54+79n.

Constatons que 54x60 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79