Calcul de 1/79 en base 59+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 59+79n se regroupent elles en cette série ?

1-59-5-58-25-53-46-28-72-61-44-68-62-24-73-41-49-47-8-77-40-69-42-29-52-66-23-14-36-70-22-34-31-12-76-60-64-63-4===78-20-74-21-54-26-33-51-7-18-35-11-17-55-6-38-30-32-71-2-39-10-37-50-27-13-56-65-43-9-57-45-48-67-3-19-15-16-75

Calculons 1/79 en base 59+79n (59, 138, 217, ...) :

1/79 en base 59 = 0,0-44-3-43-18-39-34-20-53-45-32-50-46-17-54-30-36-35-5-57-29-51-31-21-38-49-17-10-26-52-16-25-23-8-56-44-47-47-2===58-14-55-15-40-19-24-38-5-13-26-8-12-41-4-28-22-23-53-1-29-7-27-37-20-9-41-48-32-6-42-33-35-50-2-14-11-11-56...

1/79 en base 138 = 0,1-103-8-101-43-92-80-48-125-106-76-118-108-41-127-71-85-82-13-134-69-120-73-50-90-115-40-24-62-122-38-59-54-20-132-104-111-110-6===136-34-129-36-94-45-57-89-12-31-61-19-29-96-10-66-52-55-124-3-68-17-64-87-47-22-97-113-75-15-99-78-83-117-5-33-26-27-131...

1/79 en base 217 = 0,2-162-13-159-68-145-126-76-197-167-120-186-170-65-200-112-134-129-21-211-109-189-115-79-142-181-63-38-98-192-60-93-85-32-208-164-175-173-10===214-54-203-57-148-71-90-140-19-49-96-30-46-151-16-104-82-87-195-5-107-27-101-137-74-35-153-178-118-24-156-123-131-184-8-52-41-43-206...

Et de manière générale en base 59+79n :

[n][44+59n][3+5n][43+58n][18+25n][39+53n][34+46n][20+28n][53+72n][45+61n][32+44n][50+68n][46+62n][17+24n][54+73n][30+41n][36+49n][35+47n][5+8n][57+77n][29+40n][51+69n][31+42n][21+29n][38+52n][49+66n][17+23n][10+14n][26+36n][52+70n][16+22n][25+34n][23+31n][8+12n][56+76n][44+60n][47+64n][47+63n][2+4n]===[58+78n][14+20n][55+74n][15+21n][40+54n][19+26n][24+33n][38+51n][5+7n][13+18n][26+35n][8+11n][12+17n][41+55n][4+6n][28+38n][22+30n][23+32n][53+71n][1+2n][29+39n][7+10n][27+37n][37+50n][20+27n][9+13n][41+56n][48+65n][32+43n][6+9n][42+57n][33+45n][35+48n][50+67n][2+3n][14+19n][11+15n][11+16n][56+75n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 59 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 75+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 75+79n. La série est alors :

1-75-16-15-19-3-67-48-45-57-9-43-65-56-13-27-50-37-10-39-2-71-32-30-38-6-55-17-11-35-18-7-51-33-26-54-21-74-20===78-4-63-64-60-76-12-31-34-22-70-36-14-23-66-52-29-42-69-40-77-8-47-49-41-73-24-62-68-44-61-72-28-46-53-25-58-5-59

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 59+79n.

Calculons 1/79 en base : 75, 154, 233, ...(75+79n) :

1/79 en base 75 = 0,0-71-15-14-18-2-63-45-42-54-8-40-61-53-12-25-47-35-9-37-1-67-30-28-36-5-52-16-10-33-17-6-48-31-24-51-19-70-18===74-3-59-60-56-72-11-29-32-20-66-34-13-21-62-49-27-39-65-37-73-7-44-46-38-69-22-58-64-41-57-68-26-43-50-23-55-4-56...

1/79 en base 154 = 0,1-146-31-29-37-5-130-93-87-111-17-83-126-109-25-52-97-72-19-76-3-138-62-58-74-11-107-33-21-68-35-13-99-64-50-105-40-144-38===152-7-122-124-116-148-23-60-66-42-136-70-27-44-128-101-56-81-134-77-150-15-91-95-79-142-46-120-132-85-118-140-54-89-103-48-113-9-115...

1/79 en base 233 = 0,2-221-47-44-56-8-197-141-132-168-26-126-191-165-38-79-147-109-29-115-5-209-94-88-112-17-162-50-32-103-53-20-150-97-76-159-61-218-58===230-11-185-188-176-224-35-91-100-64-206-106-41-67-194-153-85-123-203-117-227-23-138-144-120-215-70-182-200-129-179-212-82-135-156-73-171-14-174...

Et de manière générale en base 75+79n :

[n][71+75n][15+16n][14+15n][18+19n][2+3n][63+67n][45+48n][42+45n][54+57n][8+9n][40+43n][61+65n][53+56n][12+13n][25+27n][47+50n][35+37n][9+10n][37+39n][1+2n][67+71n][30+32n][28+30n][36+38n][5+6n][52+55n][16+17n][10+11n][33+35n][17+18n][6+7n][48+51n][31+33n][24+26n][51+54n][19+21n][70+74n][18+20n]===[74+78n][3+4n][59+63n][60+64n][56+60n][72+76n][11+12n][29+31n][32+34n][20+22n][66+70n][34+36n][13+14n][21+23n][62+66n][49+52n][27+29n][39+42n][65+69n][37+40n][73+77n][7+8n][44+47n][46+49n][38+41n][69+73n][22+24n][58+62n][64+68n][41+44n][57+61n][68+72n][26+28n][43+46n][50+53n][23+25n][55+58n][4+5n][56+59n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 75 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 59+79n.

Constatons que 59x75 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79