Calcul de 1/79 en base 63+79n.

Pourquoi les périodes de n/79 en base 63+79n se regroupent elles en cette série ?

1-63-19-12-45-70-65-66-50-69-2-47-38-24-11-61-51-53-21-59-4-15-76-48-22-43-23-27-42-39-8-30-73-17-44-7-46-54-5===78-16-60-67-34-9-14-13-29-10-77-32-41-55-68-18-28-26-58-20-75-64-3-31-57-36-56-52-37-40-71-49-6-62-35-72-33-25-74

Calculons 1/79 en base 63+79n (63, 142, 221, ...) :

1/79 en base 63 = 0,0-50-15-9-35-55-51-52-39-55-1-37-30-19-8-48-40-42-16-47-3-11-60-38-17-34-18-21-33-31-6-23-58-13-35-5-36-43-3===62-12-47-53-27-7-11-10-23-7-61-25-32-43-54-14-22-20-46-15-59-51-2-24-45-28-44-41-29-31-56-39-4-49-27-57-26-19-59...

1/79 en base 142 = 0,1-113-34-21-80-125-116-118-89-124-3-84-68-43-19-109-91-95-37-106-7-26-136-86-39-77-41-48-75-70-14-53-131-30-79-12-82-97-8===140-28-107-120-61-16-25-23-52-17-138-57-73-98-122-32-50-46-104-35-134-115-5-55-102-64-100-93-66-71-127-88-10-111-62-129-59-44-133...

1/79 en base 221 = 0,2-176-53-33-125-195-181-184-139-193-5-131-106-67-30-170-142-148-58-165-11-41-212-134-61-120-64-75-117-109-22-83-204-47-123-19-128-151-13===218-44-167-187-95-25-39-36-81-27-215-89-114-153-190-50-78-72-162-55-209-179-8-86-159-100-156-145-103-111-198-137-16-173-97-201-92-69-207...

Et de manière générale en base 63+79n :

[n][50+63n][15+19n][9+12n][35+45n][55+70n][51+65n][52+66n][39+50n][55+69n][1+2n][37+47n][30+38n][19+24n][8+11n][48+61n][40+51n][42+53n][16+21n][47+59n][3+4n][11+15n][60+76n][38+48n][17+22n][34+43n][18+23n][21+27n][33+42n][31+39n][6+8n][23+30n][58+73n][13+17n][35+44n][5+7n][36+46n][43+54n][3+5n]===[62+78n][12+16n][47+60n][53+67n][27+34n][7+9n][11+14n][10+13n][23+29n][7+10n][61+77n][25+32n][32+41n][43+55n][54+68n][14+18n][22+28n][20+26n][46+58n][15+20n][59+75n][51+64n][2+3n][24+31n][45+57n][28+36n][44+56n][41+52n][29+37n][31+40n][56+71n][39+49n][4+6n][49+62n][27+35n][57+72n][26+33n][19+25n][59+74n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 63 modulo 79

Calcul de 1/79 en base 74+79n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 74+79n. La série est alors :

1-74-25-33-72-35-62-6-49-71-40-37-52-56-36-57-31-3-64-75-20-58-26-28-18-68-55-41-32-77-10-29-13-14-9-34-67-60-16===78-5-54-46-7-44-17-73-30-8-39-42-27-23-43-22-48-76-15-4-59-21-53-51-61-11-24-38-47-2-69-50-66-65-70-45-12-19-63

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 63+79n.

Calculons 1/79 en base : 74, 153, 232, ...(74+79n) :

1/79 en base 74 = 0,0-69-23-30-67-32-58-5-45-66-37-34-48-52-33-53-29-2-59-70-18-54-24-26-16-63-51-38-29-72-9-27-12-13-8-31-62-56-14===73-4-50-43-6-41-15-68-28-7-36-39-25-21-40-20-44-71-14-3-55-19-49-47-57-10-22-35-44-1-64-46-61-60-65-42-11-17-59...

1/79 en base 153 = 0,1-143-48-63-139-67-120-11-94-137-77-71-100-108-69-110-60-5-123-145-38-112-50-54-34-131-106-79-61-149-19-56-25-27-17-65-129-116-30===151-9-104-89-13-85-32-141-58-15-75-81-52-44-83-42-92-147-29-7-114-40-102-98-118-21-46-73-91-3-133-96-127-125-135-87-23-36-122...

1/79 en base 232 = 0,2-217-73-96-211-102-182-17-143-208-117-108-152-164-105-167-91-8-187-220-58-170-76-82-52-199-161-120-93-226-29-85-38-41-26-99-196-176-46===229-14-158-135-20-129-49-214-88-23-114-123-79-67-126-64-140-223-44-11-173-61-155-149-179-32-70-111-138-5-202-146-193-190-205-132-35-55-185...

Et de manière générale en base 74+79n :

[n][69+74n][23+25n][30+33n][67+72n][32+35n][58+62n][5+6n][45+49n][66+71n][37+40n][34+37n][48+52n][52+56n][33+36n][53+57n][29+31n][2+3n][59+64n][70+75n][18+20n][54+58n][24+26n][26+28n][16+18n][63+68n][51+55n][38+41n][29+32n][72+77n][9+10n][27+29n][12+13n][13+14n][8+9n][31+34n][62+67n][56+60n][14+16n]===[73+78n][4+5n][50+54n][43+46n][6+7n][41+44n][15+17n][68+73n][28+30n][7+8n][36+39n][39+42n][25+27n][21+23n][40+43n][20+22n][44+48n][71+76n][14+15n][3+4n][55+59n][19+21n][49+53n][47+51n][57+61n][10+11n][22+24n][35+38n][44+47n][1+2n][64+69n][46+50n][61+66n][60+65n][65+70n][42+45n][11+12n][17+19n][59+63n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 79 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 74 modulo 79

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 63+79n.

Constatons que 63x74 admet 1 pour reste dans la division par 79 et qu'ils sont alors inverses dans Z79