Calcul de 1/83 en base 2+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 2+83n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-16-32-64-45-7-14-28-56-29-58-33-66-49-15-30-60-37-74-65-47-11-22-44-5-10-20-40-80-77-71-59-35-70-57-31-62-41===82-81-79-75-67-51-19-38-76-69-55-27-54-25-50-17-34-68-53-23-46-9-18-36-72-61-39-78-73-63-43-3-6-12-24-48-13-26-52-21-42

Calculons 1/83 en base 2+83n (2, 85, 168, ...) :

1/83 en base 2 = 0,00000011000101011001011100100001111011010===11111100111010100110100011011110000100101...

1/83 en base 85 = 0,1-2-4-8-16-32-65-46-7-14-28-57-29-59-33-67-50-15-30-61-37-75-66-48-11-22-45-5-10-20-40-81-78-72-60-35-71-58-31-63-41===83-82-80-76-68-52-19-38-77-70-56-27-55-25-51-17-34-69-54-23-47-9-18-36-73-62-39-79-74-64-44-3-6-12-24-49-13-26-53-21-43...

1/83 en base 168 = 0,2-4-8-16-32-64-129-91-14-28-56-113-58-117-66-133-99-30-60-121-74-149-131-95-22-44-89-10-20-40-80-161-155-143-119-70-141-115-62-125-82===165-163-159-151-135-103-38-76-153-139-111-54-109-50-101-34-68-137-107-46-93-18-36-72-145-123-78-157-147-127-87-6-12-24-48-97-26-52-105-42-85...

Et de manière générale en base 2+83n :

[n][2n][4n][8n][16n][32n][1+64n][1+45n][7n][14n][28n][1+56n][29n][1+58n][33n][1+66n][1+49n][15n][30n][1+60n][37n][1+74n][1+65n][1+47n][11n][22n][1+44n][5n][10n][20n][40n][1+80n][1+77n][1+71n][1+59n][35n][1+70n][1+57n][31n][1+62n][41n]===[1+82n][1+81n][1+79n][1+75n][1+67n][1+51n][19n][38n][1+76n][1+69n][1+55n][27n][1+54n][25n][1+50n][17n][34n][1+68n][1+53n][23n][1+46n][9n][18n][36n][1+72n][1+61n][39n][1+78n][1+73n][1+63n][1+43n][3n][6n][12n][24n][1+48n][13n][26n][1+52n][21n][1+42n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 42+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 42+83n. La série est alors :

1-42-21-52-26-13-48-24-12-6-3-43-63-73-78-39-61-72-36-18-9-46-23-53-68-34-17-50-25-54-27-55-69-76-38-19-51-67-75-79-81===82-41-62-31-57-70-35-59-71-77-80-40-20-10-5-44-22-11-47-65-74-37-60-30-15-49-66-33-58-29-56-28-14-7-45-64-32-16-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+83n.

Calculons 1/83 en base : 42, 125, 208, ...(42+83n) :

1/83 en base 42 = 0,0-21-10-26-13-6-24-12-6-3-1-21-31-36-39-19-30-36-18-9-4-23-11-26-34-17-8-25-12-27-13-27-34-38-19-9-25-33-37-39-40===41-20-31-15-28-35-17-29-35-38-40-20-10-5-2-22-11-5-23-32-37-18-30-15-7-24-33-16-29-14-28-14-7-3-22-32-16-8-4-2-1...

1/83 en base 125 = 0,1-63-31-78-39-19-72-36-18-9-4-64-94-109-117-58-91-108-54-27-13-69-34-79-102-51-25-75-37-81-40-82-103-114-57-28-76-100-112-118-121===123-61-93-46-85-105-52-88-106-115-120-60-30-15-7-66-33-16-70-97-111-55-90-45-22-73-99-49-87-43-84-42-21-10-67-96-48-24-12-6-3...

1/83 en base 208 = 0,2-105-52-130-65-32-120-60-30-15-7-107-157-182-195-97-152-180-90-45-22-115-57-132-170-85-42-125-62-135-67-137-172-190-95-47-127-167-187-197-202===205-102-155-77-142-175-87-147-177-192-200-100-50-25-12-110-55-27-117-162-185-92-150-75-37-122-165-82-145-72-140-70-35-17-112-160-80-40-20-10-5...

Et de manière générale en base 42+83n :

[n][21+42n][10+21n][26+52n][13+26n][6+13n][24+48n][12+24n][6+12n][3+6n][1+3n][21+43n][31+63n][36+73n][39+78n][19+39n][30+61n][36+72n][18+36n][9+18n][4+9n][23+46n][11+23n][26+53n][34+68n][17+34n][8+17n][25+50n][12+25n][27+54n][13+27n][27+55n][34+69n][38+76n][19+38n][9+19n][25+51n][33+67n][37+75n][39+79n][40+81n]===[41+82n][20+41n][31+62n][15+31n][28+57n][35+70n][17+35n][29+59n][35+71n][38+77n][40+80n][20+40n][10+20n][5+10n][2+5n][22+44n][11+22n][5+11n][23+47n][32+65n][37+74n][18+37n][30+60n][15+30n][7+15n][24+49n][33+66n][16+33n][29+58n][14+29n][28+56n][14+28n][7+14n][3+7n][22+45n][32+64n][16+32n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 42 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+83n.

Constatons que 2x42 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83