Calcul de 1/83 en base 5+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 5+83n se regroupent elles en cette série ?

1-5-25-42-44-54-21-22-27-52-11-55-26-47-69-13-65-76-48-74-38-24-37-19-12-60-51-6-30-67-3-15-75-43-49-79-63-66-81-73-33===82-78-58-41-39-29-62-61-56-31-72-28-57-36-14-70-18-7-35-9-45-59-46-64-71-23-32-77-53-16-80-68-8-40-34-4-20-17-2-10-50

Calculons 1/83 en base 5+83n (5, 88, 171, ...) :

1/83 en base 5 = 0,00122311130312403424212103301400422433441===44322133314132041020232341143044022011003...

1/83 en base 88 = 0,1-5-26-44-46-57-22-23-28-55-11-58-27-49-73-13-68-80-50-78-40-25-39-20-12-63-54-6-31-71-3-15-79-45-51-83-66-69-85-77-34===86-82-61-43-41-30-65-64-59-32-76-29-60-38-14-74-19-7-37-9-47-62-48-67-75-24-33-81-56-16-84-72-8-42-36-4-21-18-2-10-53...

1/83 en base 171 = 0,2-10-51-86-90-111-43-45-55-107-22-113-53-96-142-26-133-156-98-152-78-49-76-39-24-123-105-12-61-138-6-30-154-88-100-162-129-135-166-150-67===168-160-119-84-80-59-127-125-115-63-148-57-117-74-28-144-37-14-72-18-92-121-94-131-146-47-65-158-109-32-164-140-16-82-70-8-41-35-4-20-103...

Et de manière générale en base 5+83n :

[n][5n][1+25n][2+42n][2+44n][3+54n][1+21n][1+22n][1+27n][3+52n][11n][3+55n][1+26n][2+47n][4+69n][13n][3+65n][4+76n][2+48n][4+74n][2+38n][1+24n][2+37n][1+19n][12n][3+60n][3+51n][6n][1+30n][4+67n][3n][15n][4+75n][2+43n][2+49n][4+79n][3+63n][3+66n][4+81n][4+73n][1+33n]===[4+82n][4+78n][3+58n][2+41n][2+39n][1+29n][3+62n][3+61n][3+56n][1+31n][4+72n][1+28n][3+57n][2+36n][14n][4+70n][1+18n][7n][2+35n][9n][2+45n][3+59n][2+46n][3+64n][4+71n][1+23n][1+32n][4+77n][3+53n][16n][4+80n][4+68n][8n][2+40n][2+34n][4n][1+20n][1+17n][2n][10n][3+50n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 50+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 50+83n. La série est alors :

1-50-10-2-17-20-4-34-40-8-68-80-16-53-77-32-23-71-64-46-59-45-9-35-7-18-70-14-36-57-28-72-31-56-61-62-29-39-41-58-78===82-33-73-81-66-63-79-49-43-75-15-3-67-30-6-51-60-12-19-37-24-38-74-48-76-65-13-69-47-26-55-11-52-27-22-21-54-44-42-25-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+83n.

Calculons 1/83 en base : 50, 133, 216, ...(50+83n) :

1/83 en base 50 = 0,0-30-6-1-10-12-2-20-24-4-40-48-9-31-46-19-13-42-38-27-35-27-5-21-4-10-42-8-21-34-16-43-18-33-36-37-17-23-24-34-46===49-19-43-48-39-37-47-29-25-45-9-1-40-18-3-30-36-7-11-22-14-22-44-28-45-39-7-41-28-15-33-6-31-16-13-12-32-26-25-15-3...

1/83 en base 133 = 0,1-80-16-3-27-32-6-54-64-12-108-128-25-84-123-51-36-113-102-73-94-72-14-56-11-28-112-22-57-91-44-115-49-89-97-99-46-62-65-92-124===131-52-116-129-105-100-126-78-68-120-24-4-107-48-9-81-96-19-30-59-38-60-118-76-121-104-20-110-75-41-88-17-83-43-35-33-86-70-67-40-8...

1/83 en base 216 = 0,2-130-26-5-44-52-10-88-104-20-176-208-41-137-200-83-59-184-166-119-153-117-23-91-18-46-182-36-93-148-72-187-80-145-158-161-75-101-106-150-202===213-85-189-210-171-163-205-127-111-195-39-7-174-78-15-132-156-31-49-96-62-98-192-124-197-169-33-179-122-67-143-28-135-70-57-54-140-114-109-65-13...

Et de manière générale en base 50+83n :

[n][30+50n][6+10n][1+2n][10+17n][12+20n][2+4n][20+34n][24+40n][4+8n][40+68n][48+80n][9+16n][31+53n][46+77n][19+32n][13+23n][42+71n][38+64n][27+46n][35+59n][27+45n][5+9n][21+35n][4+7n][10+18n][42+70n][8+14n][21+36n][34+57n][16+28n][43+72n][18+31n][33+56n][36+61n][37+62n][17+29n][23+39n][24+41n][34+58n][46+78n]===[49+82n][19+33n][43+73n][48+81n][39+66n][37+63n][47+79n][29+49n][25+43n][45+75n][9+15n][1+3n][40+67n][18+30n][3+6n][30+51n][36+60n][7+12n][11+19n][22+37n][14+24n][22+38n][44+74n][28+48n][45+76n][39+65n][7+13n][41+69n][28+47n][15+26n][33+55n][6+11n][31+52n][16+27n][13+22n][12+21n][32+54n][26+44n][25+42n][15+25n][3+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 50 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+83n.

Constatons que 5x50 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83