Calcul de 1/83 en base 6+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 6+83n se regroupent elles en cette série ?

1-6-36-50-51-57-10-60-28-2-12-72-17-19-31-20-37-56-4-24-61-34-38-62-40-74-29-8-48-39-68-76-41-80-65-58-16-13-78-53-69===82-77-47-33-32-26-73-23-55-81-71-11-66-64-52-63-46-27-79-59-22-49-45-21-43-9-54-75-35-44-15-7-42-3-18-25-67-70-5-30-14

Calculons 1/83 en base 6+83n (6, 89, 172, ...) :

1/83 en base 6 = 0,00233404200511212401422425203245254410534===55322151355044343154133130352310301145021...

1/83 en base 89 = 0,1-6-38-53-54-61-10-64-30-2-12-77-18-20-33-21-39-60-4-25-65-36-40-66-42-79-31-8-51-41-72-81-43-85-69-62-17-13-83-56-73===87-82-50-35-34-27-78-24-58-86-76-11-70-68-55-67-49-28-84-63-23-52-48-22-46-9-57-80-37-47-16-7-45-3-19-26-71-75-5-32-15...

1/83 en base 172 = 0,2-12-74-103-105-118-20-124-58-4-24-149-35-39-64-41-76-116-8-49-126-70-78-128-82-153-60-16-99-80-140-157-84-165-134-120-33-26-161-109-142===169-159-97-68-66-53-151-47-113-167-147-22-136-132-107-130-95-55-163-122-45-101-93-43-89-18-111-155-72-91-31-14-87-6-37-51-138-145-10-62-29...

Et de manière générale en base 6+83n :

[n][6n][2+36n][3+50n][3+51n][4+57n][10n][4+60n][2+28n][2n][12n][5+72n][1+17n][1+19n][2+31n][1+20n][2+37n][4+56n][4n][1+24n][4+61n][2+34n][2+38n][4+62n][2+40n][5+74n][2+29n][8n][3+48n][2+39n][4+68n][5+76n][2+41n][5+80n][4+65n][4+58n][1+16n][13n][5+78n][3+53n][4+69n]===[5+82n][5+77n][3+47n][2+33n][2+32n][1+26n][5+73n][1+23n][3+55n][5+81n][5+71n][11n][4+66n][4+64n][3+52n][4+63n][3+46n][1+27n][5+79n][4+59n][1+22n][3+49n][3+45n][1+21n][3+43n][9n][3+54n][5+75n][2+35n][3+44n][1+15n][7n][3+42n][3n][1+18n][1+25n][4+67n][5+70n][5n][2+30n][1+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 14+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 14+83n. La série est alors :

1-14-30-5-70-67-25-18-3-42-7-15-44-35-75-54-9-43-21-45-49-22-59-79-27-46-63-52-64-66-11-71-81-55-23-73-26-32-33-47-77===82-69-53-78-13-16-58-65-80-41-76-68-39-48-8-29-74-40-62-38-34-61-24-4-56-37-20-31-19-17-72-12-2-28-60-10-57-51-50-36-6

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+83n.

Calculons 1/83 en base : 14, 97, 180, ...(14+83n) :

1/83 en base 14 = 0,0-2-5-0-11-11-4-3-0-7-1-2-7-5-12-9-1-7-3-7-8-3-9-13-4-7-10-8-10-11-1-11-13-9-3-12-4-5-5-7-12===13-11-8-13-2-2-9-10-13-6-12-11-6-8-1-4-12-6-10-6-5-10-4-0-9-6-3-5-3-2-12-2-0-4-10-1-9-8-8-6-1...

1/83 en base 97 = 0,1-16-35-5-81-78-29-21-3-49-8-17-51-40-87-63-10-50-24-52-57-25-68-92-31-53-73-60-74-77-12-82-94-64-26-85-30-37-38-54-89===95-80-61-91-15-18-67-75-93-47-88-79-45-56-9-33-86-46-72-44-39-71-28-4-65-43-23-36-22-19-84-14-2-32-70-11-66-59-58-42-7...

1/83 en base 180 = 0,2-30-65-10-151-145-54-39-6-91-15-32-95-75-162-117-19-93-45-97-106-47-127-171-58-99-136-112-138-143-23-153-175-119-49-158-56-69-71-101-166===177-149-114-169-28-34-125-140-173-88-164-147-84-104-17-62-160-86-134-82-73-132-52-8-121-80-43-67-41-36-156-26-4-60-130-21-123-110-108-78-13...

Et de manière générale en base 14+83n :

[n][2+14n][5+30n][5n][11+70n][11+67n][4+25n][3+18n][3n][7+42n][1+7n][2+15n][7+44n][5+35n][12+75n][9+54n][1+9n][7+43n][3+21n][7+45n][8+49n][3+22n][9+59n][13+79n][4+27n][7+46n][10+63n][8+52n][10+64n][11+66n][1+11n][11+71n][13+81n][9+55n][3+23n][12+73n][4+26n][5+32n][5+33n][7+47n][12+77n]===[13+82n][11+69n][8+53n][13+78n][2+13n][2+16n][9+58n][10+65n][13+80n][6+41n][12+76n][11+68n][6+39n][8+48n][1+8n][4+29n][12+74n][6+40n][10+62n][6+38n][5+34n][10+61n][4+24n][4n][9+56n][6+37n][3+20n][5+31n][3+19n][2+17n][12+72n][2+12n][2n][4+28n][10+60n][1+10n][9+57n][8+51n][8+50n][6+36n][1+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+83n.

Constatons que 6x14 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83