Calcul de 1/83 en base 8+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 8+83n se regroupent elles en cette série ?

1-8-64-14-29-66-30-74-11-5-40-71-70-62-81-67-38-55-25-34-23-18-61-73-3-24-26-42-4-32-7-56-33-15-37-47-44-20-77-35-31===82-75-19-69-54-17-53-9-72-78-43-12-13-21-2-16-45-28-58-49-60-65-22-10-80-59-57-41-79-51-76-27-50-68-46-36-39-63-6-48-52

Calculons 1/83 en base 8+83n (8, 91, 174, ...) :

1/83 en base 8 = 0,00612627103665763523215702240305313441732===77165150674112014254562075537472464336045...

1/83 en base 91 = 0,1-8-70-15-31-72-32-81-12-5-43-77-76-67-88-73-41-60-27-37-25-19-66-80-3-26-28-46-4-35-7-61-36-16-40-51-48-21-84-38-33===89-82-20-75-59-18-58-9-78-85-47-13-14-23-2-17-49-30-63-53-65-71-24-10-87-64-62-44-86-55-83-29-54-74-50-39-42-69-6-52-57...

1/83 en base 174 = 0,2-16-134-29-60-138-62-155-23-10-83-148-146-129-169-140-79-115-52-71-48-37-127-153-6-50-54-88-8-67-14-117-69-31-77-98-92-41-161-73-64===171-157-39-144-113-35-111-18-150-163-90-25-27-44-4-33-94-58-121-102-125-136-46-20-167-123-119-85-165-106-159-56-104-142-96-75-81-132-12-100-109...

Et de manière générale en base 8+83n :

[n][8n][6+64n][1+14n][2+29n][6+66n][2+30n][7+74n][1+11n][5n][3+40n][6+71n][6+70n][5+62n][7+81n][6+67n][3+38n][5+55n][2+25n][3+34n][2+23n][1+18n][5+61n][7+73n][3n][2+24n][2+26n][4+42n][4n][3+32n][7n][5+56n][3+33n][1+15n][3+37n][4+47n][4+44n][1+20n][7+77n][3+35n][2+31n]===[7+82n][7+75n][1+19n][6+69n][5+54n][1+17n][5+53n][9n][6+72n][7+78n][4+43n][1+12n][1+13n][2+21n][2n][1+16n][4+45n][2+28n][5+58n][4+49n][5+60n][6+65n][2+22n][10n][7+80n][5+59n][5+57n][3+41n][7+79n][4+51n][7+76n][2+27n][4+50n][6+68n][4+46n][3+36n][3+39n][6+63n][6n][4+48n][5+52n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 8 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 52+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 52+83n. La série est alors :

1-52-48-6-63-39-36-46-68-50-27-76-51-79-41-57-59-80-10-22-65-60-49-58-28-45-16-2-21-13-12-43-78-72-9-53-17-54-69-19-75===82-31-35-77-20-44-47-37-15-33-56-7-32-4-42-26-24-3-73-61-18-23-34-25-55-38-67-81-62-70-71-40-5-11-74-30-66-29-14-64-8

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 8+83n.

Calculons 1/83 en base : 52, 135, 218, ...(52+83n) :

1/83 en base 52 = 0,0-32-30-3-39-24-22-28-42-31-16-47-31-49-25-35-36-50-6-13-40-37-30-36-17-28-10-1-13-8-7-26-48-45-5-33-10-33-43-11-46===51-19-21-48-12-27-29-23-9-20-35-4-20-2-26-16-15-1-45-38-11-14-21-15-34-23-41-50-38-43-44-25-3-6-46-18-41-18-8-40-5...

1/83 en base 135 = 0,1-84-78-9-102-63-58-74-110-81-43-123-82-128-66-92-95-130-16-35-105-97-79-94-45-73-26-3-34-21-19-69-126-117-14-86-27-87-112-30-121===133-50-56-125-32-71-76-60-24-53-91-11-52-6-68-42-39-4-118-99-29-37-55-40-89-61-108-131-100-113-115-65-8-17-120-48-107-47-22-104-13...

1/83 en base 218 = 0,2-136-126-15-165-102-94-120-178-131-70-199-133-207-107-149-154-210-26-57-170-157-128-152-73-118-42-5-55-34-31-112-204-189-23-139-44-141-181-49-196===215-81-91-202-52-115-123-97-39-86-147-18-84-10-110-68-63-7-191-160-47-60-89-65-144-99-175-212-162-183-186-105-13-28-194-78-173-76-36-168-21...

Et de manière générale en base 52+83n :

[n][32+52n][30+48n][3+6n][39+63n][24+39n][22+36n][28+46n][42+68n][31+50n][16+27n][47+76n][31+51n][49+79n][25+41n][35+57n][36+59n][50+80n][6+10n][13+22n][40+65n][37+60n][30+49n][36+58n][17+28n][28+45n][10+16n][1+2n][13+21n][8+13n][7+12n][26+43n][48+78n][45+72n][5+9n][33+53n][10+17n][33+54n][43+69n][11+19n][46+75n]===[51+82n][19+31n][21+35n][48+77n][12+20n][27+44n][29+47n][23+37n][9+15n][20+33n][35+56n][4+7n][20+32n][2+4n][26+42n][16+26n][15+24n][1+3n][45+73n][38+61n][11+18n][14+23n][21+34n][15+25n][34+55n][23+38n][41+67n][50+81n][38+62n][43+70n][44+71n][25+40n][3+5n][6+11n][46+74n][18+30n][41+66n][18+29n][8+14n][40+64n][5+8n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 52 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 8+83n.

Constatons que 8x52 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83