Calcul de 1/83 en base 13+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 13+83n se regroupent elles en cette série ?

1-13-3-39-9-34-27-19-81-57-77-5-65-15-29-45-4-52-12-73-36-53-25-76-75-62-59-20-11-60-33-14-16-42-48-43-61-46-17-55-51===82-70-80-44-74-49-56-64-2-26-6-78-18-68-54-38-79-31-71-10-47-30-58-7-8-21-24-63-72-23-50-69-67-41-35-40-22-37-66-28-32

Calculons 1/83 en base 13+83n (13, 96, 179, ...) :

1/83 en base 13 = 0,0-2-0-6-1-5-4-2-12-8-12-0-10-2-4-7-0-8-1-11-5-8-3-11-11-9-9-3-1-9-5-2-2-6-7-6-9-7-2-8-7===12-10-12-6-11-7-8-10-0-4-0-12-2-10-8-5-12-4-11-1-7-4-9-1-1-3-3-9-11-3-7-10-10-6-5-6-3-5-10-4-5...

1/83 en base 96 = 0,1-15-3-45-10-39-31-21-93-65-89-5-75-17-33-52-4-60-13-84-41-61-28-87-86-71-68-23-12-69-38-16-18-48-55-49-70-53-19-63-58===94-80-92-50-85-56-64-74-2-30-6-90-20-78-62-43-91-35-82-11-54-34-67-8-9-24-27-72-83-26-57-79-77-47-40-46-25-42-76-32-37...

1/83 en base 179 = 0,2-28-6-84-19-73-58-40-174-122-166-10-140-32-62-97-8-112-25-157-77-114-53-163-161-133-127-43-23-129-71-30-34-90-103-92-131-99-36-118-109===176-150-172-94-159-105-120-138-4-56-12-168-38-146-116-81-170-66-153-21-101-64-125-15-17-45-51-135-155-49-107-148-144-88-75-86-47-79-142-60-69...

Et de manière générale en base 13+83n :

[n][2+13n][3n][6+39n][1+9n][5+34n][4+27n][2+19n][12+81n][8+57n][12+77n][5n][10+65n][2+15n][4+29n][7+45n][4n][8+52n][1+12n][11+73n][5+36n][8+53n][3+25n][11+76n][11+75n][9+62n][9+59n][3+20n][1+11n][9+60n][5+33n][2+14n][2+16n][6+42n][7+48n][6+43n][9+61n][7+46n][2+17n][8+55n][7+51n]===[12+82n][10+70n][12+80n][6+44n][11+74n][7+49n][8+56n][10+64n][2n][4+26n][6n][12+78n][2+18n][10+68n][8+54n][5+38n][12+79n][4+31n][11+71n][1+10n][7+47n][4+30n][9+58n][1+7n][1+8n][3+21n][3+24n][9+63n][11+72n][3+23n][7+50n][10+69n][10+67n][6+41n][5+35n][6+40n][3+22n][5+37n][10+66n][4+28n][5+32n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 32+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 32+83n. La série est alors :

1-32-28-66-37-22-40-35-41-67-69-50-23-72-63-24-21-8-7-58-30-47-10-71-31-79-38-54-68-18-78-6-26-2-64-56-49-74-44-80-70===82-51-55-17-46-61-43-48-42-16-14-33-60-11-20-59-62-75-76-25-53-36-73-12-52-4-45-29-15-65-5-77-57-81-19-27-34-9-39-3-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+83n.

Calculons 1/83 en base : 32, 115, 198, ...(32+83n) :

1/83 en base 32 = 0,0-12-10-25-14-8-15-13-15-25-26-19-8-27-24-9-8-3-2-22-11-18-3-27-11-30-14-20-26-6-30-2-10-0-24-21-18-28-16-30-26===31-19-21-6-17-23-16-18-16-6-5-12-23-4-7-22-23-28-29-9-20-13-28-4-20-1-17-11-5-25-1-29-21-31-7-10-13-3-15-1-5...

1/83 en base 115 = 0,1-44-38-91-51-30-55-48-56-92-95-69-31-99-87-33-29-11-9-80-41-65-13-98-42-109-52-74-94-24-108-8-36-2-88-77-67-102-60-110-96===113-70-76-23-63-84-59-66-58-22-19-45-83-15-27-81-85-103-105-34-73-49-101-16-72-5-62-40-20-90-6-106-78-112-26-37-47-12-54-4-18...

1/83 en base 198 = 0,2-76-66-157-88-52-95-83-97-159-164-119-54-171-150-57-50-19-16-138-71-112-23-169-73-188-90-128-162-42-186-14-62-4-152-133-116-176-104-190-166===195-121-131-40-109-145-102-114-100-38-33-78-143-26-47-140-147-178-181-59-126-85-174-28-124-9-107-69-35-155-11-183-135-193-45-64-81-21-93-7-31...

Et de manière générale en base 32+83n :

[n][12+32n][10+28n][25+66n][14+37n][8+22n][15+40n][13+35n][15+41n][25+67n][26+69n][19+50n][8+23n][27+72n][24+63n][9+24n][8+21n][3+8n][2+7n][22+58n][11+30n][18+47n][3+10n][27+71n][11+31n][30+79n][14+38n][20+54n][26+68n][6+18n][30+78n][2+6n][10+26n][2n][24+64n][21+56n][18+49n][28+74n][16+44n][30+80n][26+70n]===[31+82n][19+51n][21+55n][6+17n][17+46n][23+61n][16+43n][18+48n][16+42n][6+16n][5+14n][12+33n][23+60n][4+11n][7+20n][22+59n][23+62n][28+75n][29+76n][9+25n][20+53n][13+36n][28+73n][4+12n][20+52n][1+4n][17+45n][11+29n][5+15n][25+65n][1+5n][29+77n][21+57n][31+81n][7+19n][10+27n][13+34n][3+9n][15+39n][1+3n][5+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 32 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+83n.

Constatons que 13x32 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83