Calcul de 1/83 en base 15+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 15+83n se regroupent elles en cette série ?

1-15-59-55-78-8-37-57-25-43-64-47-41-34-12-14-44-79-23-13-29-20-51-18-21-66-77-76-61-2-30-35-27-73-16-74-31-50-3-45-11===82-68-24-28-5-75-46-26-58-40-19-36-42-49-71-69-39-4-60-70-54-63-32-65-62-17-6-7-22-81-53-48-56-10-67-9-52-33-80-38-72

Calculons 1/83 en base 15+83n (15, 98, 181, ...) :

1/83 en base 15 = 0,0-2-10-9-14-1-6-10-4-7-11-8-7-6-2-2-7-14-4-2-5-3-9-3-3-11-13-13-11-0-5-6-4-13-2-13-5-9-0-8-1===14-12-4-5-0-13-8-4-10-7-3-6-7-8-12-12-7-0-10-12-9-11-5-11-11-3-1-1-3-14-9-8-10-1-12-1-9-5-14-6-13...

1/83 en base 98 = 0,1-17-69-64-92-9-43-67-29-50-75-55-48-40-14-16-51-93-27-15-34-23-60-21-24-77-90-89-72-2-35-41-31-86-18-87-36-59-3-53-12===96-80-28-33-5-88-54-30-68-47-22-42-49-57-83-81-46-4-70-82-63-74-37-76-73-20-7-8-25-95-62-56-66-11-79-10-61-38-94-44-85...

1/83 en base 181 = 0,2-32-128-119-170-17-80-124-54-93-139-102-89-74-26-30-95-172-50-28-63-43-111-39-45-143-167-165-133-4-65-76-58-159-34-161-67-109-6-98-23===178-148-52-61-10-163-100-56-126-87-41-78-91-106-154-150-85-8-130-152-117-137-69-141-135-37-13-15-47-176-115-104-122-21-146-19-113-71-174-82-157...

Et de manière générale en base 15+83n :

[n][2+15n][10+59n][9+55n][14+78n][1+8n][6+37n][10+57n][4+25n][7+43n][11+64n][8+47n][7+41n][6+34n][2+12n][2+14n][7+44n][14+79n][4+23n][2+13n][5+29n][3+20n][9+51n][3+18n][3+21n][11+66n][13+77n][13+76n][11+61n][2n][5+30n][6+35n][4+27n][13+73n][2+16n][13+74n][5+31n][9+50n][3n][8+45n][1+11n]===[14+82n][12+68n][4+24n][5+28n][5n][13+75n][8+46n][4+26n][10+58n][7+40n][3+19n][6+36n][7+42n][8+49n][12+71n][12+69n][7+39n][4n][10+60n][12+70n][9+54n][11+63n][5+32n][11+65n][11+62n][3+17n][1+6n][1+7n][3+22n][14+81n][9+53n][8+48n][10+56n][1+10n][12+67n][1+9n][9+52n][5+33n][14+80n][6+38n][13+72n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 72+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 72+83n. La série est alors :

1-72-38-80-33-52-9-67-10-56-48-53-81-22-7-6-17-62-65-32-63-54-70-60-4-39-69-71-49-42-36-19-40-58-26-46-75-5-28-24-68===82-11-45-3-50-31-74-16-73-27-35-30-2-61-76-77-66-21-18-51-20-29-13-23-79-44-14-12-34-41-47-64-43-25-57-37-8-78-55-59-15

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 15+83n.

Calculons 1/83 en base : 72, 155, 238, ...(72+83n) :

1/83 en base 72 = 0,0-62-32-69-28-45-7-58-8-48-41-45-70-19-6-5-14-53-56-27-54-46-60-52-3-33-59-61-42-36-31-16-34-50-22-39-65-4-24-20-58===71-9-39-2-43-26-64-13-63-23-30-26-1-52-65-66-57-18-15-44-17-25-11-19-68-38-12-10-29-35-40-55-37-21-49-32-6-67-47-51-13...

1/83 en base 155 = 0,1-134-70-149-61-97-16-125-18-104-89-98-151-41-13-11-31-115-121-59-117-100-130-112-7-72-128-132-91-78-67-35-74-108-48-85-140-9-52-44-126===153-20-84-5-93-57-138-29-136-50-65-56-3-113-141-143-123-39-33-95-37-54-24-42-147-82-26-22-63-76-87-119-80-46-106-69-14-145-102-110-28...

1/83 en base 238 = 0,2-206-108-229-94-149-25-192-28-160-137-151-232-63-20-17-48-177-186-91-180-154-200-172-11-111-197-203-140-120-103-54-114-166-74-131-215-14-80-68-194===235-31-129-8-143-88-212-45-209-77-100-86-5-174-217-220-189-60-51-146-57-83-37-65-226-126-40-34-97-117-134-183-123-71-163-106-22-223-157-169-43...

Et de manière générale en base 72+83n :

[n][62+72n][32+38n][69+80n][28+33n][45+52n][7+9n][58+67n][8+10n][48+56n][41+48n][45+53n][70+81n][19+22n][6+7n][5+6n][14+17n][53+62n][56+65n][27+32n][54+63n][46+54n][60+70n][52+60n][3+4n][33+39n][59+69n][61+71n][42+49n][36+42n][31+36n][16+19n][34+40n][50+58n][22+26n][39+46n][65+75n][4+5n][24+28n][20+24n][58+68n]===[71+82n][9+11n][39+45n][2+3n][43+50n][26+31n][64+74n][13+16n][63+73n][23+27n][30+35n][26+30n][1+2n][52+61n][65+76n][66+77n][57+66n][18+21n][15+18n][44+51n][17+20n][25+29n][11+13n][19+23n][68+79n][38+44n][12+14n][10+12n][29+34n][35+41n][40+47n][55+64n][37+43n][21+25n][49+57n][32+37n][6+8n][67+78n][47+55n][51+59n][13+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 72 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 15+83n.

Constatons que 15x72 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83