Calcul de 1/83 en base 18+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 18+83n se regroupent elles en cette série ?

1-18-75-22-64-73-69-80-29-24-17-57-30-42-9-79-11-32-78-76-40-56-12-50-70-15-21-46-81-47-16-39-38-20-28-6-25-35-49-52-23===82-65-8-61-19-10-14-3-54-59-66-26-53-41-74-4-72-51-5-7-43-27-71-33-13-68-62-37-2-36-67-44-45-63-55-77-58-48-34-31-60

Calculons 1/83 en base 18+83n (18, 101, 184, ...) :

1/83 en base 18 = 0,0-3-16-4-13-15-14-17-6-5-3-12-6-9-1-17-2-6-16-16-8-12-2-10-15-3-4-9-17-10-3-8-8-4-6-1-5-7-10-11-4===17-14-1-13-4-2-3-0-11-12-14-5-11-8-16-0-15-11-1-1-9-5-15-7-2-14-13-8-0-7-14-9-9-13-11-16-12-10-7-6-13...

1/83 en base 101 = 0,1-21-91-26-77-88-83-97-35-29-20-69-36-51-10-96-13-38-94-92-48-68-14-60-85-18-25-55-98-57-19-47-46-24-34-7-30-42-59-63-27===99-79-9-74-23-12-17-3-65-71-80-31-64-49-90-4-87-62-6-8-52-32-86-40-15-82-75-45-2-43-81-53-54-76-66-93-70-58-41-37-73...

1/83 en base 184 = 0,2-39-166-48-141-161-152-177-64-53-37-126-66-93-19-175-24-70-172-168-88-124-26-110-155-33-46-101-179-104-35-86-84-44-62-13-55-77-108-115-50===181-144-17-135-42-22-31-6-119-130-146-57-117-90-164-8-159-113-11-15-95-59-157-73-28-150-137-82-4-79-148-97-99-139-121-170-128-106-75-68-133...

Et de manière générale en base 18+83n :

[n][3+18n][16+75n][4+22n][13+64n][15+73n][14+69n][17+80n][6+29n][5+24n][3+17n][12+57n][6+30n][9+42n][1+9n][17+79n][2+11n][6+32n][16+78n][16+76n][8+40n][12+56n][2+12n][10+50n][15+70n][3+15n][4+21n][9+46n][17+81n][10+47n][3+16n][8+39n][8+38n][4+20n][6+28n][1+6n][5+25n][7+35n][10+49n][11+52n][4+23n]===[17+82n][14+65n][1+8n][13+61n][4+19n][2+10n][3+14n][3n][11+54n][12+59n][14+66n][5+26n][11+53n][8+41n][16+74n][4n][15+72n][11+51n][1+5n][1+7n][9+43n][5+27n][15+71n][7+33n][2+13n][14+68n][13+62n][8+37n][2n][7+36n][14+67n][9+44n][9+45n][13+63n][11+55n][16+77n][12+58n][10+48n][7+34n][6+31n][13+60n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 60+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 60+83n. La série est alors :

1-60-31-34-48-58-77-55-63-45-44-67-36-2-37-62-68-13-33-71-27-43-7-5-51-72-4-74-41-53-26-66-59-54-3-14-10-19-61-8-65===82-23-52-49-35-25-6-28-20-38-39-16-47-81-46-21-15-70-50-12-56-40-76-78-32-11-79-9-42-30-57-17-24-29-80-69-73-64-22-75-18

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 18+83n.

Calculons 1/83 en base : 60, 143, 226, ...(60+83n) :

1/83 en base 60 = 0,0-43-22-24-34-41-55-39-45-32-31-48-26-1-26-44-49-9-23-51-19-31-5-3-36-52-2-53-29-38-18-47-42-39-2-10-7-13-44-5-46===59-16-37-35-25-18-4-20-14-27-28-11-33-58-33-15-10-50-36-8-40-28-54-56-23-7-57-6-30-21-41-12-17-20-57-49-52-46-15-54-13...

1/83 en base 143 = 0,1-103-53-58-82-99-132-94-108-77-75-115-62-3-63-106-117-22-56-122-46-74-12-8-87-124-6-127-70-91-44-113-101-93-5-24-17-32-105-13-111===141-39-89-84-60-43-10-48-34-65-67-27-80-139-79-36-25-120-86-20-96-68-130-134-55-18-136-15-72-51-98-29-41-49-137-118-125-110-37-129-31...

1/83 en base 226 = 0,2-163-84-92-130-157-209-149-171-122-119-182-98-5-100-168-185-35-89-193-73-117-19-13-138-196-10-201-111-144-70-179-160-147-8-38-27-51-166-21-176===223-62-141-133-95-68-16-76-54-103-106-43-127-220-125-57-40-190-136-32-152-108-206-212-87-29-215-24-114-81-155-46-65-78-217-187-198-174-59-204-49...

Et de manière générale en base 60+83n :

[n][43+60n][22+31n][24+34n][34+48n][41+58n][55+77n][39+55n][45+63n][32+45n][31+44n][48+67n][26+36n][1+2n][26+37n][44+62n][49+68n][9+13n][23+33n][51+71n][19+27n][31+43n][5+7n][3+5n][36+51n][52+72n][2+4n][53+74n][29+41n][38+53n][18+26n][47+66n][42+59n][39+54n][2+3n][10+14n][7+10n][13+19n][44+61n][5+8n][46+65n]===[59+82n][16+23n][37+52n][35+49n][25+35n][18+25n][4+6n][20+28n][14+20n][27+38n][28+39n][11+16n][33+47n][58+81n][33+46n][15+21n][10+15n][50+70n][36+50n][8+12n][40+56n][28+40n][54+76n][56+78n][23+32n][7+11n][57+79n][6+9n][30+42n][21+30n][41+57n][12+17n][17+24n][20+29n][57+80n][49+69n][52+73n][46+64n][15+22n][54+75n][13+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 60 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 18+83n.

Constatons que 18x60 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83