Calcul de 1/83 en base 19+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 19+83n se regroupent elles en cette série ?

1-19-29-53-11-43-70-2-38-58-23-22-3-57-4-76-33-46-44-6-31-8-69-66-9-5-12-62-16-55-49-18-10-24-41-32-27-15-36-20-48===82-64-54-30-72-40-13-81-45-25-60-61-80-26-79-7-50-37-39-77-52-75-14-17-74-78-71-21-67-28-34-65-73-59-42-51-56-68-47-63-35

Calculons 1/83 en base 19+83n (19, 102, 185, ...) :

1/83 en base 19 = 0,0-4-6-12-2-9-16-0-8-13-5-5-0-13-0-17-7-10-10-1-7-1-15-15-2-1-2-14-3-12-11-4-2-5-9-7-6-3-8-4-10===18-14-12-6-16-9-2-18-10-5-13-13-18-5-18-1-11-8-8-17-11-17-3-3-16-17-16-4-15-6-7-14-16-13-9-11-12-15-10-14-8...

1/83 en base 102 = 0,1-23-35-65-13-52-86-2-46-71-28-27-3-70-4-93-40-56-54-7-38-9-84-81-11-6-14-76-19-67-60-22-12-29-50-39-33-18-44-24-58===100-78-66-36-88-49-15-99-55-30-73-74-98-31-97-8-61-45-47-94-63-92-17-20-90-95-87-25-82-34-41-79-89-72-51-62-68-83-57-77-43...

1/83 en base 185 = 0,2-42-64-118-24-95-156-4-84-129-51-49-6-127-8-169-73-102-98-13-69-17-153-147-20-11-26-138-35-122-109-40-22-53-91-71-60-33-80-44-106===182-142-120-66-160-89-28-180-100-55-133-135-178-57-176-15-111-82-86-171-115-167-31-37-164-173-158-46-149-62-75-144-162-131-93-113-124-151-104-140-78...

Et de manière générale en base 19+83n :

[n][4+19n][6+29n][12+53n][2+11n][9+43n][16+70n][2n][8+38n][13+58n][5+23n][5+22n][3n][13+57n][4n][17+76n][7+33n][10+46n][10+44n][1+6n][7+31n][1+8n][15+69n][15+66n][2+9n][1+5n][2+12n][14+62n][3+16n][12+55n][11+49n][4+18n][2+10n][5+24n][9+41n][7+32n][6+27n][3+15n][8+36n][4+20n][10+48n]===[18+82n][14+64n][12+54n][6+30n][16+72n][9+40n][2+13n][18+81n][10+45n][5+25n][13+60n][13+61n][18+80n][5+26n][18+79n][1+7n][11+50n][8+37n][8+39n][17+77n][11+52n][17+75n][3+14n][3+17n][16+74n][17+78n][16+71n][4+21n][15+67n][6+28n][7+34n][14+65n][16+73n][13+59n][9+42n][11+51n][12+56n][15+68n][10+47n][14+63n][8+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 19 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 35+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 35+83n. La série est alors :

1-35-63-47-68-56-51-42-59-73-65-34-28-67-21-71-78-74-17-14-75-52-77-39-37-50-7-79-26-80-61-60-25-45-81-13-40-72-30-54-64===82-48-20-36-15-27-32-41-24-10-18-49-55-16-62-12-5-9-66-69-8-31-6-44-46-33-76-4-57-3-22-23-58-38-2-70-43-11-53-29-19

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 19+83n.

Calculons 1/83 en base : 35, 118, 201, ...(35+83n) :

1/83 en base 35 = 0,0-14-26-19-28-23-21-17-24-30-27-14-11-28-8-29-32-31-7-5-31-21-32-16-15-21-2-33-10-33-25-25-10-18-34-5-16-30-12-22-26===34-20-8-15-6-11-13-17-10-4-7-20-23-6-26-5-2-3-27-29-3-13-2-18-19-13-32-1-24-1-9-9-24-16-0-29-18-4-22-12-8...

1/83 en base 118 = 0,1-49-89-66-96-79-72-59-83-103-92-48-39-95-29-100-110-105-24-19-106-73-109-55-52-71-9-112-36-113-86-85-35-63-115-18-56-102-42-76-90===116-68-28-51-21-38-45-58-34-14-25-69-78-22-88-17-7-12-93-98-11-44-8-62-65-46-108-5-81-4-31-32-82-54-2-99-61-15-75-41-27...

1/83 en base 201 = 0,2-84-152-113-164-135-123-101-142-176-157-82-67-162-50-171-188-179-41-33-181-125-186-94-89-121-16-191-62-193-147-145-60-108-196-31-96-174-72-130-154===198-116-48-87-36-65-77-99-58-24-43-118-133-38-150-29-12-21-159-167-19-75-14-106-111-79-184-9-138-7-53-55-140-92-4-169-104-26-128-70-46...

Et de manière générale en base 35+83n :

[n][14+35n][26+63n][19+47n][28+68n][23+56n][21+51n][17+42n][24+59n][30+73n][27+65n][14+34n][11+28n][28+67n][8+21n][29+71n][32+78n][31+74n][7+17n][5+14n][31+75n][21+52n][32+77n][16+39n][15+37n][21+50n][2+7n][33+79n][10+26n][33+80n][25+61n][25+60n][10+25n][18+45n][34+81n][5+13n][16+40n][30+72n][12+30n][22+54n][26+64n]===[34+82n][20+48n][8+20n][15+36n][6+15n][11+27n][13+32n][17+41n][10+24n][4+10n][7+18n][20+49n][23+55n][6+16n][26+62n][5+12n][2+5n][3+9n][27+66n][29+69n][3+8n][13+31n][2+6n][18+44n][19+46n][13+33n][32+76n][1+4n][24+57n][1+3n][9+22n][9+23n][24+58n][16+38n][2n][29+70n][18+43n][4+11n][22+53n][12+29n][8+19n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 19+83n.

Constatons que 19x35 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83