Pourquoi les périodes de n/83 en base 20+83n se regroupent elles en cette série ?

1-20-68-32-59-18-28-62-78-66-75-6-37-76-26-22-25-2-40-53-64-35-36-56-41-73-49-67-12-74-69-52-44-50-4-80-23-45-70-72-29===82-63-15-51-24-65-55-21-5-17-8-77-46-7-57-61-58-81-43-30-19-48-47-27-42-10-34-16-71-9-14-31-39-33-79-3-60-38-13-11-54

Calculons 1/83 en base 20+83n (20, 103, 186, ...) :

1/83 en base 20 = 0,0-4-16-7-14-4-6-14-18-15-18-1-8-18-6-5-6-0-9-12-15-8-8-13-9-17-11-16-2-17-16-12-10-12-0-19-5-10-16-17-6===19-15-3-12-5-15-13-5-1-4-1-18-11-1-13-14-13-19-10-7-4-11-11-6-10-2-8-3-17-2-3-7-9-7-19-0-14-9-3-2-13...

1/83 en base 103 = 0,1-24-84-39-73-22-34-76-96-81-93-7-45-94-32-27-31-2-49-65-79-43-44-69-50-90-60-83-14-91-85-64-54-62-4-99-28-55-86-89-35===101-78-18-63-29-80-68-26-6-21-9-95-57-8-70-75-71-100-53-37-23-59-58-33-52-12-42-19-88-11-17-38-48-40-98-3-74-47-16-13-67...

1/83 en base 186 = 0,2-44-152-71-132-40-62-138-174-147-168-13-82-170-58-49-56-4-89-118-143-78-80-125-91-163-109-150-26-165-154-116-98-112-8-179-51-100-156-161-64===183-141-33-114-53-145-123-47-11-38-17-172-103-15-127-136-129-181-96-67-42-107-105-60-94-22-76-35-159-20-31-69-87-73-177-6-134-85-29-24-121...

Et de manière générale en base 20+83n :

[n][4+20n][16+68n][7+32n][14+59n][4+18n][6+28n][14+62n][18+78n][15+66n][18+75n][1+6n][8+37n][18+76n][6+26n][5+22n][6+25n][2n][9+40n][12+53n][15+64n][8+35n][8+36n][13+56n][9+41n][17+73n][11+49n][16+67n][2+12n][17+74n][16+69n][12+52n][10+44n][12+50n][4n][19+80n][5+23n][10+45n][16+70n][17+72n][6+29n]===[19+82n][15+63n][3+15n][12+51n][5+24n][15+65n][13+55n][5+21n][1+5n][4+17n][1+8n][18+77n][11+46n][1+7n][13+57n][14+61n][13+58n][19+81n][10+43n][7+30n][4+19n][11+48n][11+47n][6+27n][10+42n][2+10n][8+34n][3+16n][17+71n][2+9n][3+14n][7+31n][9+39n][7+33n][19+79n][3n][14+60n][9+38n][3+13n][2+11n][13+54n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-20-68-32-59-18-28-62-78-66-75-6-37-76-26-22-25-2-40-53-64-35-36-56-41-73-49-67-12-74-69-52-44-50-4-80-23-45-70-72-29===82-63-15-51-24-65-55-21-5-17-8-77-46-7-57-61-58-81-43-30-19-48-47-27-42-10-34-16-71-9-14-31-39-33-79-3-60-38-13-11-54

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 83 

Calcul de 1/83 en base 54+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 54+83n. La série est alors :

1-54-11-13-38-60-3-79-33-39-31-14-9-71-16-34-10-42-27-47-48-19-30-43-81-58-61-57-7-46-77-8-17-5-21-55-65-24-51-15-63===82-29-72-70-45-23-80-4-50-44-52-69-74-12-67-49-73-41-56-36-35-64-53-40-2-25-22-26-76-37-6-75-66-78-62-28-18-59-32-68-20

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 20+83n.

Calculons 1/83 en base : 54, 137, 220, ...(54+83n) :

1/83 en base 54 = 0,0-35-7-8-24-39-1-51-21-25-20-9-5-46-10-22-6-27-17-30-31-12-19-27-52-37-39-37-4-29-50-5-11-3-13-35-42-15-33-9-40===53-18-46-45-29-14-52-2-32-28-33-44-48-7-43-31-47-26-36-23-22-41-34-26-1-16-14-16-49-24-3-48-42-50-40-18-11-38-20-44-13...

1/83 en base 137 = 0,1-89-18-21-62-99-4-130-54-64-51-23-14-117-26-56-16-69-44-77-79-31-49-70-133-95-100-94-11-75-127-13-28-8-34-90-107-39-84-24-103===135-47-118-115-74-37-132-6-82-72-85-113-122-19-110-80-120-67-92-59-57-105-87-66-3-41-36-42-125-61-9-123-108-128-102-46-29-97-52-112-33...

1/83 en base 220 = 0,2-143-29-34-100-159-7-209-87-103-82-37-23-188-42-90-26-111-71-124-127-50-79-113-214-153-161-151-18-121-204-21-45-13-55-145-172-63-135-39-166===217-76-190-185-119-60-212-10-132-116-137-182-196-31-177-129-193-108-148-95-92-169-140-106-5-66-58-68-201-98-15-198-174-206-164-74-47-156-84-180-53...

Et de manière générale en base 54+83n :

[n][35+54n][7+11n][8+13n][24+38n][39+60n][1+3n][51+79n][21+33n][25+39n][20+31n][9+14n][5+9n][46+71n][10+16n][22+34n][6+10n][27+42n][17+27n][30+47n][31+48n][12+19n][19+30n][27+43n][52+81n][37+58n][39+61n][37+57n][4+7n][29+46n][50+77n][5+8n][11+17n][3+5n][13+21n][35+55n][42+65n][15+24n][33+51n][9+15n][40+63n]===[53+82n][18+29n][46+72n][45+70n][29+45n][14+23n][52+80n][2+4n][32+50n][28+44n][33+52n][44+69n][48+74n][7+12n][43+67n][31+49n][47+73n][26+41n][36+56n][23+36n][22+35n][41+64n][34+53n][26+40n][1+2n][16+25n][14+22n][16+26n][49+76n][24+37n][3+6n][48+75n][42+66n][50+78n][40+62n][18+28n][11+18n][38+59n][20+32n][44+68n][13+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-54-11-13-38-60-3-79-33-39-31-14-9-71-16-34-10-42-27-47-48-19-30-43-81-58-61-57-7-46-77-8-17-5-21-55-65-24-51-15-63===82-29-72-70-45-23-80-4-50-44-52-69-74-12-67-49-73-41-56-36-35-64-53-40-2-25-22-26-76-37-6-75-66-78-62-28-18-59-32-68-20

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 54 modulo 83 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 20+83n.

Constatons que 20x54 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83