Calcul de 1/83 en base 22+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 22+83n se regroupent elles en cette série ?

1-22-69-24-30-79-78-56-70-46-16-20-25-52-65-19-3-66-41-72-7-71-68-2-44-55-48-60-75-73-29-57-9-32-40-50-21-47-38-6-49===82-61-14-59-53-4-5-27-13-37-67-63-58-31-18-64-80-17-42-11-76-12-15-81-39-28-35-23-8-10-54-26-74-51-43-33-62-36-45-77-34

Calculons 1/83 en base 22+83n (22, 105, 188, ...) :

1/83 en base 22 = 0,0-5-18-6-7-20-20-14-18-12-4-5-6-13-17-5-0-17-10-19-1-18-18-0-11-14-12-15-19-19-7-15-2-8-10-13-5-12-10-1-12===21-16-3-15-14-1-1-7-3-9-17-16-15-8-4-16-21-4-11-2-20-3-3-21-10-7-9-6-2-2-14-6-19-13-11-8-16-9-11-20-9...

1/83 en base 105 = 0,1-27-87-30-37-99-98-70-88-58-20-25-31-65-82-24-3-83-51-91-8-89-86-2-55-69-60-75-94-92-36-72-11-40-50-63-26-59-48-7-61===103-77-17-74-67-5-6-34-16-46-84-79-73-39-22-80-101-21-53-13-96-15-18-102-49-35-44-29-10-12-68-32-93-64-54-41-78-45-56-97-43...

1/83 en base 188 = 0,2-49-156-54-67-178-176-126-158-104-36-45-56-117-147-43-6-149-92-163-15-160-154-4-99-124-108-135-169-165-65-129-20-72-90-113-47-106-86-13-110===185-138-31-133-120-9-11-61-29-83-151-142-131-70-40-144-181-38-95-24-172-27-33-183-88-63-79-52-18-22-122-58-167-115-97-74-140-81-101-174-77...

Et de manière générale en base 22+83n :

[n][5+22n][18+69n][6+24n][7+30n][20+79n][20+78n][14+56n][18+70n][12+46n][4+16n][5+20n][6+25n][13+52n][17+65n][5+19n][3n][17+66n][10+41n][19+72n][1+7n][18+71n][18+68n][2n][11+44n][14+55n][12+48n][15+60n][19+75n][19+73n][7+29n][15+57n][2+9n][8+32n][10+40n][13+50n][5+21n][12+47n][10+38n][1+6n][12+49n]===[21+82n][16+61n][3+14n][15+59n][14+53n][1+4n][1+5n][7+27n][3+13n][9+37n][17+67n][16+63n][15+58n][8+31n][4+18n][16+64n][21+80n][4+17n][11+42n][2+11n][20+76n][3+12n][3+15n][21+81n][10+39n][7+28n][9+35n][6+23n][2+8n][2+10n][14+54n][6+26n][19+74n][13+51n][11+43n][8+33n][16+62n][9+36n][11+45n][20+77n][9+34n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 22 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 34+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 34+83n. La série est alors :

1-34-77-45-36-62-33-43-51-74-26-54-10-8-23-35-28-39-81-15-12-76-11-42-17-80-64-18-31-58-63-67-37-13-27-5-4-53-59-14-61===82-49-6-38-47-21-50-40-32-9-57-29-73-75-60-48-55-44-2-68-71-7-72-41-66-3-19-65-52-25-20-16-46-70-56-78-79-30-24-69-22

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 22+83n.

Calculons 1/83 en base : 34, 117, 200, ...(34+83n) :

1/83 en base 34 = 0,0-13-31-18-14-25-13-17-20-30-10-22-4-3-9-14-11-15-33-6-4-31-4-17-6-32-26-7-12-23-25-27-15-5-11-2-1-21-24-5-24===33-20-2-15-19-8-20-16-13-3-23-11-29-30-24-19-22-18-0-27-29-2-29-16-27-1-7-26-21-10-8-6-18-28-22-31-32-12-9-28-9...

1/83 en base 117 = 0,1-47-108-63-50-87-46-60-71-104-36-76-14-11-32-49-39-54-114-21-16-107-15-59-23-112-90-25-43-81-88-94-52-18-38-7-5-74-83-19-85===115-69-8-53-66-29-70-56-45-12-80-40-102-105-84-67-77-62-2-95-100-9-101-57-93-4-26-91-73-35-28-22-64-98-78-109-111-42-33-97-31...

1/83 en base 200 = 0,2-81-185-108-86-149-79-103-122-178-62-130-24-19-55-84-67-93-195-36-28-183-26-101-40-192-154-43-74-139-151-161-89-31-65-12-9-127-142-33-146===197-118-14-91-113-50-120-96-77-21-137-69-175-180-144-115-132-106-4-163-171-16-173-98-159-7-45-156-125-60-48-38-110-168-134-187-190-72-57-166-53...

Et de manière générale en base 34+83n :

[n][13+34n][31+77n][18+45n][14+36n][25+62n][13+33n][17+43n][20+51n][30+74n][10+26n][22+54n][4+10n][3+8n][9+23n][14+35n][11+28n][15+39n][33+81n][6+15n][4+12n][31+76n][4+11n][17+42n][6+17n][32+80n][26+64n][7+18n][12+31n][23+58n][25+63n][27+67n][15+37n][5+13n][11+27n][2+5n][1+4n][21+53n][24+59n][5+14n][24+61n]===[33+82n][20+49n][2+6n][15+38n][19+47n][8+21n][20+50n][16+40n][13+32n][3+9n][23+57n][11+29n][29+73n][30+75n][24+60n][19+48n][22+55n][18+44n][2n][27+68n][29+71n][2+7n][29+72n][16+41n][27+66n][1+3n][7+19n][26+65n][21+52n][10+25n][8+20n][6+16n][18+46n][28+70n][22+56n][31+78n][32+79n][12+30n][9+24n][28+69n][9+22n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 34 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 22+83n.

Constatons que 22x34 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83