Pourquoi les périodes de n/83 en base 24+83n se regroupent elles en cette série ?

1-24-78-46-25-19-41-71-44-60-29-32-21-6-61-53-27-67-31-80-11-15-28-8-26-43-36-34-69-79-70-20-65-66-7-2-48-73-9-50-38===82-59-5-37-58-64-42-12-39-23-54-51-62-77-22-30-56-16-52-3-72-68-55-75-57-40-47-49-14-4-13-63-18-17-76-81-35-10-74-33-45

Calculons 1/83 en base 24+83n (24, 107, 190, ...) :

1/83 en base 24 = 0,0-6-22-13-7-5-11-20-12-17-8-9-6-1-17-15-7-19-8-23-3-4-8-2-7-12-10-9-19-22-20-5-18-19-2-0-13-21-2-14-10===23-17-1-10-16-18-12-3-11-6-15-14-17-22-6-8-16-4-15-0-20-19-15-21-16-11-13-14-4-1-3-18-5-4-21-23-10-2-21-9-13...

1/83 en base 107 = 0,1-30-100-59-32-24-52-91-56-77-37-41-27-7-78-68-34-86-39-103-14-19-36-10-33-55-46-43-88-101-90-25-83-85-9-2-61-94-11-64-48===105-76-6-47-74-82-54-15-50-29-69-65-79-99-28-38-72-20-67-3-92-87-70-96-73-51-60-63-18-5-16-81-23-21-97-104-45-12-95-42-58...

1/83 en base 190 = 0,2-54-178-105-57-43-93-162-100-137-66-73-48-13-139-121-61-153-70-183-25-34-64-18-59-98-82-77-157-180-160-45-148-151-16-4-109-167-20-114-86===187-135-11-84-132-146-96-27-89-52-123-116-141-176-50-68-128-36-119-6-164-155-125-171-130-91-107-112-32-9-29-144-41-38-173-185-80-22-169-75-103...

Et de manière générale en base 24+83n :

[n][6+24n][22+78n][13+46n][7+25n][5+19n][11+41n][20+71n][12+44n][17+60n][8+29n][9+32n][6+21n][1+6n][17+61n][15+53n][7+27n][19+67n][8+31n][23+80n][3+11n][4+15n][8+28n][2+8n][7+26n][12+43n][10+36n][9+34n][19+69n][22+79n][20+70n][5+20n][18+65n][19+66n][2+7n][2n][13+48n][21+73n][2+9n][14+50n][10+38n]===[23+82n][17+59n][1+5n][10+37n][16+58n][18+64n][12+42n][3+12n][11+39n][6+23n][15+54n][14+51n][17+62n][22+77n][6+22n][8+30n][16+56n][4+16n][15+52n][3n][20+72n][19+68n][15+55n][21+75n][16+57n][11+40n][13+47n][14+49n][4+14n][1+4n][3+13n][18+63n][5+18n][4+17n][21+76n][23+81n][10+35n][2+10n][21+74n][9+33n][13+45n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-24-78-46-25-19-41-71-44-60-29-32-21-6-61-53-27-67-31-80-11-15-28-8-26-43-36-34-69-79-70-20-65-66-7-2-48-73-9-50-38===82-59-5-37-58-64-42-12-39-23-54-51-62-77-22-30-56-16-52-3-72-68-55-75-57-40-47-49-14-4-13-63-18-17-76-81-35-10-74-33-45

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 24 modulo 83 

Calcul de 1/83 en base 45+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 45+83n. La série est alors :

1-45-33-74-10-35-81-76-17-18-63-13-4-14-49-47-40-57-75-55-68-72-3-52-16-56-30-22-77-62-51-54-23-39-12-42-64-58-37-5-59===82-38-50-9-73-48-2-7-66-65-20-70-79-69-34-36-43-26-8-28-15-11-80-31-67-27-53-61-6-21-32-29-60-44-71-41-19-25-46-78-24

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 24+83n.

Calculons 1/83 en base : 45, 128, 211, ...(45+83n) :

1/83 en base 45 = 0,0-24-17-40-5-18-43-41-9-9-34-7-2-7-26-25-21-30-40-29-36-39-1-28-8-30-16-11-41-33-27-29-12-21-6-22-34-31-20-2-31===44-20-27-4-39-26-1-3-35-35-10-37-42-37-18-19-23-14-4-15-8-5-43-16-36-14-28-33-3-11-17-15-32-23-38-22-10-13-24-42-13...

1/83 en base 128 = 0,1-69-50-114-15-53-124-117-26-27-97-20-6-21-75-72-61-87-115-84-104-111-4-80-24-86-46-33-118-95-78-83-35-60-18-64-98-89-57-7-90===126-58-77-13-112-74-3-10-101-100-30-107-121-106-52-55-66-40-12-43-23-16-123-47-103-41-81-94-9-32-49-44-92-67-109-63-29-38-70-120-37...

1/83 en base 211 = 0,2-114-83-188-25-88-205-193-43-45-160-33-10-35-124-119-101-144-190-139-172-183-7-132-40-142-76-55-195-157-129-137-58-99-30-106-162-147-94-12-149===208-96-127-22-185-122-5-17-167-165-50-177-200-175-86-91-109-66-20-71-38-27-203-78-170-68-134-155-15-53-81-73-152-111-180-104-48-63-116-198-61...

Et de manière générale en base 45+83n :

[n][24+45n][17+33n][40+74n][5+10n][18+35n][43+81n][41+76n][9+17n][9+18n][34+63n][7+13n][2+4n][7+14n][26+49n][25+47n][21+40n][30+57n][40+75n][29+55n][36+68n][39+72n][1+3n][28+52n][8+16n][30+56n][16+30n][11+22n][41+77n][33+62n][27+51n][29+54n][12+23n][21+39n][6+12n][22+42n][34+64n][31+58n][20+37n][2+5n][31+59n]===[44+82n][20+38n][27+50n][4+9n][39+73n][26+48n][1+2n][3+7n][35+66n][35+65n][10+20n][37+70n][42+79n][37+69n][18+34n][19+36n][23+43n][14+26n][4+8n][15+28n][8+15n][5+11n][43+80n][16+31n][36+67n][14+27n][28+53n][33+61n][3+6n][11+21n][17+32n][15+29n][32+60n][23+44n][38+71n][22+41n][10+19n][13+25n][24+46n][42+78n][13+24n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-45-33-74-10-35-81-76-17-18-63-13-4-14-49-47-40-57-75-55-68-72-3-52-16-56-30-22-77-62-51-54-23-39-12-42-64-58-37-5-59===82-38-50-9-73-48-2-7-66-65-20-70-79-69-34-36-43-26-8-28-15-11-80-31-67-27-53-61-6-21-32-29-60-44-71-41-19-25-46-78-24

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 45 modulo 83 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 24+83n.

Constatons que 24x45 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83