Calcul de 1/83 en base 43+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 43+83n se regroupent elles en cette série ?

1-43-23-76-31-5-49-32-48-72-25-79-77-74-28-42-63-53-38-57-44-66-16-24-36-54-81-80-37-14-21-73-68-19-70-22-33-8-12-18-27===82-40-60-7-52-78-34-51-35-11-58-4-6-9-55-41-20-30-45-26-39-17-67-59-47-29-2-3-46-69-62-10-15-64-13-61-50-75-71-65-56

Calculons 1/83 en base 43+83n (43, 126, 209, ...) :

1/83 en base 43 = 0,0-22-11-39-16-2-25-16-24-37-12-40-39-38-14-21-32-27-19-29-22-34-8-12-18-27-41-41-19-7-10-37-35-9-36-11-17-4-6-9-13===42-20-31-3-26-40-17-26-18-5-30-2-3-4-28-21-10-15-23-13-20-8-34-30-24-15-1-1-23-35-32-5-7-33-6-31-25-38-36-33-29...

1/83 en base 126 = 0,1-65-34-115-47-7-74-48-72-109-37-119-116-112-42-63-95-80-57-86-66-100-24-36-54-81-122-121-56-21-31-110-103-28-106-33-50-12-18-27-40===124-60-91-10-78-118-51-77-53-16-88-6-9-13-83-62-30-45-68-39-59-25-101-89-71-44-3-4-69-104-94-15-22-97-19-92-75-113-107-98-85...

1/83 en base 209 = 0,2-108-57-191-78-12-123-80-120-181-62-198-193-186-70-105-158-133-95-143-110-166-40-60-90-135-203-201-93-35-52-183-171-47-176-55-83-20-30-45-67===206-100-151-17-130-196-85-128-88-27-146-10-15-22-138-103-50-75-113-65-98-42-168-148-118-73-5-7-115-173-156-25-37-161-32-153-125-188-178-163-141...

Et de manière générale en base 43+83n :

[n][22+43n][11+23n][39+76n][16+31n][2+5n][25+49n][16+32n][24+48n][37+72n][12+25n][40+79n][39+77n][38+74n][14+28n][21+42n][32+63n][27+53n][19+38n][29+57n][22+44n][34+66n][8+16n][12+24n][18+36n][27+54n][41+81n][41+80n][19+37n][7+14n][10+21n][37+73n][35+68n][9+19n][36+70n][11+22n][17+33n][4+8n][6+12n][9+18n][13+27n]===[42+82n][20+40n][31+60n][3+7n][26+52n][40+78n][17+34n][26+51n][18+35n][5+11n][30+58n][2+4n][3+6n][4+9n][28+55n][21+41n][10+20n][15+30n][23+45n][13+26n][20+39n][8+17n][34+67n][30+59n][24+47n][15+29n][1+2n][1+3n][23+46n][35+69n][32+62n][5+10n][7+15n][33+64n][6+13n][31+61n][25+50n][38+75n][36+71n][33+65n][29+56n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 43 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 56+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 56+83n. La série est alors :

1-56-65-71-75-50-61-13-64-15-10-62-69-46-3-2-29-47-59-67-17-39-26-45-30-20-41-55-9-6-4-58-11-35-51-34-78-52-7-60-40===82-27-18-12-8-33-22-70-19-68-73-21-14-37-80-81-54-36-24-16-66-44-57-38-53-63-42-28-74-77-79-25-72-48-32-49-5-31-76-23-43

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 43+83n.

Calculons 1/83 en base : 56, 139, 222, ...(56+83n) :

1/83 en base 56 = 0,0-37-43-47-50-33-41-8-43-10-6-41-46-31-2-1-19-31-39-45-11-26-17-30-20-13-27-37-6-4-2-39-7-23-34-22-52-35-4-40-26===55-18-12-8-5-22-14-47-12-45-49-14-9-24-53-54-36-24-16-10-44-29-38-25-35-42-28-18-49-51-53-16-48-32-21-33-3-20-51-15-29...

1/83 en base 139 = 0,1-93-108-118-125-83-102-21-107-25-16-103-115-77-5-3-48-78-98-112-28-65-43-75-50-33-68-92-15-10-6-97-18-58-85-56-130-87-11-100-66===137-45-30-20-13-55-36-117-31-113-122-35-23-61-133-135-90-60-40-26-110-73-95-63-88-105-70-46-123-128-132-41-120-80-53-82-8-51-127-38-72...

1/83 en base 222 = 0,2-149-173-189-200-133-163-34-171-40-26-165-184-123-8-5-77-125-157-179-45-104-69-120-80-53-109-147-24-16-10-155-29-93-136-90-208-139-18-160-106===219-72-48-32-21-88-58-187-50-181-195-56-37-98-213-216-144-96-64-42-176-117-152-101-141-168-112-74-197-205-211-66-192-128-85-131-13-82-203-61-115...

Et de manière générale en base 56+83n :

[n][37+56n][43+65n][47+71n][50+75n][33+50n][41+61n][8+13n][43+64n][10+15n][6+10n][41+62n][46+69n][31+46n][2+3n][1+2n][19+29n][31+47n][39+59n][45+67n][11+17n][26+39n][17+26n][30+45n][20+30n][13+20n][27+41n][37+55n][6+9n][4+6n][2+4n][39+58n][7+11n][23+35n][34+51n][22+34n][52+78n][35+52n][4+7n][40+60n][26+40n]===[55+82n][18+27n][12+18n][8+12n][5+8n][22+33n][14+22n][47+70n][12+19n][45+68n][49+73n][14+21n][9+14n][24+37n][53+80n][54+81n][36+54n][24+36n][16+24n][10+16n][44+66n][29+44n][38+57n][25+38n][35+53n][42+63n][28+42n][18+28n][49+74n][51+77n][53+79n][16+25n][48+72n][32+48n][21+32n][33+49n][3+5n][20+31n][51+76n][15+23n][29+43n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 56 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 43+83n.

Constatons que 43x56 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83