Calcul de 1/83 en base 46+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 46+83n se regroupent elles en cette série ?

1-46-41-60-21-53-31-15-26-34-70-66-48-50-59-58-12-54-77-56-3-55-40-14-63-76-10-45-78-19-44-32-61-67-11-8-36-79-65-2-9===82-37-42-23-62-30-52-68-57-49-13-17-35-33-24-25-71-29-6-27-80-28-43-69-20-7-73-38-5-64-39-51-22-16-72-75-47-4-18-81-74

Calculons 1/83 en base 46+83n (46, 129, 212, ...) :

1/83 en base 46 = 0,0-25-22-33-11-29-17-8-14-18-38-36-26-27-32-32-6-29-42-31-1-30-22-7-34-42-5-24-43-10-24-17-33-37-6-4-19-43-36-1-4===45-20-23-12-34-16-28-37-31-27-7-9-19-18-13-13-39-16-3-14-44-15-23-38-11-3-40-21-2-35-21-28-12-8-39-41-26-2-9-44-41...

1/83 en base 129 = 0,1-71-63-93-32-82-48-23-40-52-108-102-74-77-91-90-18-83-119-87-4-85-62-21-97-118-15-69-121-29-68-49-94-104-17-12-55-122-101-3-13===127-57-65-35-96-46-80-105-88-76-20-26-54-51-37-38-110-45-9-41-124-43-66-107-31-10-113-59-7-99-60-79-34-24-111-116-73-6-27-125-115...

1/83 en base 212 = 0,2-117-104-153-53-135-79-38-66-86-178-168-122-127-150-148-30-137-196-143-7-140-102-35-160-194-25-114-199-48-112-81-155-171-28-20-91-201-166-5-22===209-94-107-58-158-76-132-173-145-125-33-43-89-84-61-63-181-74-15-68-204-71-109-176-51-17-186-97-12-163-99-130-56-40-183-191-120-10-45-206-189...

Et de manière générale en base 46+83n :

[n][25+46n][22+41n][33+60n][11+21n][29+53n][17+31n][8+15n][14+26n][18+34n][38+70n][36+66n][26+48n][27+50n][32+59n][32+58n][6+12n][29+54n][42+77n][31+56n][1+3n][30+55n][22+40n][7+14n][34+63n][42+76n][5+10n][24+45n][43+78n][10+19n][24+44n][17+32n][33+61n][37+67n][6+11n][4+8n][19+36n][43+79n][36+65n][1+2n][4+9n]===[45+82n][20+37n][23+42n][12+23n][34+62n][16+30n][28+52n][37+68n][31+57n][27+49n][7+13n][9+17n][19+35n][18+33n][13+24n][13+25n][39+71n][16+29n][3+6n][14+27n][44+80n][15+28n][23+43n][38+69n][11+20n][3+7n][40+73n][21+38n][2+5n][35+64n][21+39n][28+51n][12+22n][8+16n][39+72n][41+75n][26+47n][2+4n][9+18n][44+81n][41+74n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 46 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 74+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 74+83n. La série est alors :

1-74-81-18-4-47-75-72-16-22-51-39-64-5-38-73-7-20-69-43-28-80-27-6-29-71-25-24-33-35-17-13-49-57-68-52-30-62-23-42-37===82-9-2-65-79-36-8-11-67-61-32-44-19-78-45-10-76-63-14-40-55-3-56-77-54-12-58-59-50-48-66-70-34-26-15-31-53-21-60-41-46

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 46+83n.

Calculons 1/83 en base : 74, 157, 240, ...(74+83n) :

1/83 en base 74 = 0,0-65-72-16-3-41-66-64-14-19-45-34-57-4-33-65-6-17-61-38-24-71-24-5-25-63-22-21-29-31-15-11-43-50-60-46-26-55-20-37-32===73-8-1-57-70-32-7-9-59-54-28-39-16-69-40-8-67-56-12-35-49-2-49-68-48-10-51-52-44-42-58-62-30-23-13-27-47-18-53-36-41...

1/83 en base 157 = 0,1-139-153-34-7-88-141-136-30-41-96-73-121-9-71-138-13-37-130-81-52-151-51-11-54-134-47-45-62-66-32-24-92-107-128-98-56-117-43-79-69===155-17-3-122-149-68-15-20-126-115-60-83-35-147-85-18-143-119-26-75-104-5-105-145-102-22-109-111-94-90-124-132-64-49-28-58-100-39-113-77-87...

1/83 en base 240 = 0,2-213-234-52-11-135-216-208-46-63-147-112-185-14-109-211-20-57-199-124-80-231-78-17-83-205-72-69-95-101-49-37-141-164-196-150-86-179-66-121-106===237-26-5-187-228-104-23-31-193-176-92-127-54-225-130-28-219-182-40-115-159-8-161-222-156-34-167-170-144-138-190-202-98-75-43-89-153-60-173-118-133...

Et de manière générale en base 74+83n :

[n][65+74n][72+81n][16+18n][3+4n][41+47n][66+75n][64+72n][14+16n][19+22n][45+51n][34+39n][57+64n][4+5n][33+38n][65+73n][6+7n][17+20n][61+69n][38+43n][24+28n][71+80n][24+27n][5+6n][25+29n][63+71n][22+25n][21+24n][29+33n][31+35n][15+17n][11+13n][43+49n][50+57n][60+68n][46+52n][26+30n][55+62n][20+23n][37+42n][32+37n]===[73+82n][8+9n][1+2n][57+65n][70+79n][32+36n][7+8n][9+11n][59+67n][54+61n][28+32n][39+44n][16+19n][69+78n][40+45n][8+10n][67+76n][56+63n][12+14n][35+40n][49+55n][2+3n][49+56n][68+77n][48+54n][10+12n][51+58n][52+59n][44+50n][42+48n][58+66n][62+70n][30+34n][23+26n][13+15n][27+31n][47+53n][18+21n][53+60n][36+41n][41+46n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 74 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 46+83n.

Constatons que 46x74 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83