Calcul de 1/83 en base 47+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 47+83n se regroupent elles en cette série ?

1-47-51-73-28-71-17-52-37-79-61-45-40-54-48-15-41-18-16-5-69-6-33-57-23-2-11-19-63-56-59-34-21-74-75-39-7-80-25-13-30===82-36-32-10-55-12-66-31-46-4-22-38-43-29-35-68-42-65-67-78-14-77-50-26-60-81-72-64-20-27-24-49-62-9-8-44-76-3-58-70-53

Calculons 1/83 en base 47+83n (47, 130, 213, ...) :

1/83 en base 47 = 0,0-26-28-41-15-40-9-29-20-44-34-25-22-30-27-8-23-10-9-2-39-3-18-32-13-1-6-10-35-31-33-19-11-41-42-22-3-45-14-7-16===46-20-18-5-31-6-37-17-26-2-12-21-24-16-19-38-23-36-37-44-7-43-28-14-33-45-40-36-11-15-13-27-35-5-4-24-43-1-32-39-30...

1/83 en base 130 = 0,1-73-79-114-43-111-26-81-57-123-95-70-62-84-75-23-64-28-25-7-108-9-51-89-36-3-17-29-98-87-92-53-32-115-117-61-10-125-39-20-46===128-56-50-15-86-18-103-48-72-6-34-59-67-45-54-106-65-101-104-122-21-120-78-40-93-126-112-100-31-42-37-76-97-14-12-68-119-4-90-109-83...

1/83 en base 213 = 0,2-120-130-187-71-182-43-133-94-202-156-115-102-138-123-38-105-46-41-12-177-15-84-146-59-5-28-48-161-143-151-87-53-189-192-100-17-205-64-33-76===210-92-82-25-141-30-169-79-118-10-56-97-110-74-89-174-107-166-171-200-35-197-128-66-153-207-184-164-51-69-61-125-159-23-20-112-195-7-148-179-136...

Et de manière générale en base 47+83n :

[n][26+47n][28+51n][41+73n][15+28n][40+71n][9+17n][29+52n][20+37n][44+79n][34+61n][25+45n][22+40n][30+54n][27+48n][8+15n][23+41n][10+18n][9+16n][2+5n][39+69n][3+6n][18+33n][32+57n][13+23n][1+2n][6+11n][10+19n][35+63n][31+56n][33+59n][19+34n][11+21n][41+74n][42+75n][22+39n][3+7n][45+80n][14+25n][7+13n][16+30n]===[46+82n][20+36n][18+32n][5+10n][31+55n][6+12n][37+66n][17+31n][26+46n][2+4n][12+22n][21+38n][24+43n][16+29n][19+35n][38+68n][23+42n][36+65n][37+67n][44+78n][7+14n][43+77n][28+50n][14+26n][33+60n][45+81n][40+72n][36+64n][11+20n][15+27n][13+24n][27+49n][35+62n][5+9n][4+8n][24+44n][43+76n][1+3n][32+58n][39+70n][30+53n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 47 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 53+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 53+83n. La série est alors :

1-53-70-58-3-76-44-8-9-62-49-24-27-20-64-72-81-60-26-50-77-14-78-67-65-42-68-35-29-43-38-22-4-46-31-66-12-55-10-32-36===82-30-13-25-80-7-39-75-74-21-34-59-56-63-19-11-2-23-57-33-6-69-5-16-18-41-15-48-54-40-45-61-79-37-52-17-71-28-73-51-47

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 47+83n.

Calculons 1/83 en base : 53, 136, 219, ...(53+83n) :

1/83 en base 53 = 0,0-33-44-37-1-48-28-5-5-39-31-15-17-12-40-45-51-38-16-31-49-8-49-42-41-26-43-22-18-27-24-14-2-29-19-42-7-35-6-20-22===52-19-8-15-51-4-24-47-47-13-21-37-35-40-12-7-1-14-36-21-3-44-3-10-11-26-9-30-34-25-28-38-50-23-33-10-45-17-46-32-30...

1/83 en base 136 = 0,1-86-114-95-4-124-72-13-14-101-80-39-44-32-104-117-132-98-42-81-126-22-127-109-106-68-111-57-47-70-62-36-6-75-50-108-19-90-16-52-58===134-49-21-40-131-11-63-122-121-34-55-96-91-103-31-18-3-37-93-54-9-113-8-26-29-67-24-78-88-65-73-99-129-60-85-27-116-45-119-83-77...

1/83 en base 219 = 0,2-139-184-153-7-200-116-21-23-163-129-63-71-52-168-189-213-158-68-131-203-36-205-176-171-110-179-92-76-113-100-58-10-121-81-174-31-145-26-84-94===216-79-34-65-211-18-102-197-195-55-89-155-147-166-50-29-5-60-150-87-15-182-13-42-47-108-39-126-142-105-118-160-208-97-137-44-187-73-192-134-124...

Et de manière générale en base 53+83n :

[n][33+53n][44+70n][37+58n][1+3n][48+76n][28+44n][5+8n][5+9n][39+62n][31+49n][15+24n][17+27n][12+20n][40+64n][45+72n][51+81n][38+60n][16+26n][31+50n][49+77n][8+14n][49+78n][42+67n][41+65n][26+42n][43+68n][22+35n][18+29n][27+43n][24+38n][14+22n][2+4n][29+46n][19+31n][42+66n][7+12n][35+55n][6+10n][20+32n][22+36n]===[52+82n][19+30n][8+13n][15+25n][51+80n][4+7n][24+39n][47+75n][47+74n][13+21n][21+34n][37+59n][35+56n][40+63n][12+19n][7+11n][1+2n][14+23n][36+57n][21+33n][3+6n][44+69n][3+5n][10+16n][11+18n][26+41n][9+15n][30+48n][34+54n][25+40n][28+45n][38+61n][50+79n][23+37n][33+52n][10+17n][45+71n][17+28n][46+73n][32+51n][30+47n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 53 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 47+83n.

Constatons que 47x53 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83