Calcul de 1/83 en base 55+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 55+83n se regroupent elles en cette série ?

1-55-37-43-41-14-23-20-21-76-30-73-31-45-68-5-26-19-49-39-70-32-17-22-48-67-33-72-59-8-25-47-12-79-29-18-77-2-27-74-3===82-28-46-40-42-69-60-63-62-7-53-10-52-38-15-78-57-64-34-44-13-51-66-61-35-16-50-11-24-75-58-36-71-4-54-65-6-81-56-9-80

Calculons 1/83 en base 55+83n (55, 138, 221, ...) :

1/83 en base 55 = 0,0-36-24-28-27-9-15-13-13-50-19-48-20-29-45-3-17-12-32-25-46-21-11-14-31-44-21-47-39-5-16-31-7-52-19-11-51-1-17-49-1===54-18-30-26-27-45-39-41-41-4-35-6-34-25-9-51-37-42-22-29-8-33-43-40-23-10-33-7-15-49-38-23-47-2-35-43-3-53-37-5-53...

1/83 en base 138 = 0,1-91-61-71-68-23-38-33-34-126-49-121-51-74-113-8-43-31-81-64-116-53-28-36-79-111-54-119-98-13-41-78-19-131-48-29-128-3-44-123-4===136-46-76-66-69-114-99-104-103-11-88-16-86-63-24-129-94-106-56-73-21-84-109-101-58-26-83-18-39-124-96-59-118-6-89-108-9-134-93-14-133...

1/83 en base 221 = 0,2-146-98-114-109-37-61-53-55-202-79-194-82-119-181-13-69-50-130-103-186-85-45-58-127-178-87-191-157-21-66-125-31-210-77-47-205-5-71-197-7===218-74-122-106-111-183-159-167-165-18-141-26-138-101-39-207-151-170-90-117-34-135-175-162-93-42-133-29-63-199-154-95-189-10-143-173-15-215-149-23-213...

Et de manière générale en base 55+83n :

[n][36+55n][24+37n][28+43n][27+41n][9+14n][15+23n][13+20n][13+21n][50+76n][19+30n][48+73n][20+31n][29+45n][45+68n][3+5n][17+26n][12+19n][32+49n][25+39n][46+70n][21+32n][11+17n][14+22n][31+48n][44+67n][21+33n][47+72n][39+59n][5+8n][16+25n][31+47n][7+12n][52+79n][19+29n][11+18n][51+77n][1+2n][17+27n][49+74n][1+3n]===[54+82n][18+28n][30+46n][26+40n][27+42n][45+69n][39+60n][41+63n][41+62n][4+7n][35+53n][6+10n][34+52n][25+38n][9+15n][51+78n][37+57n][42+64n][22+34n][29+44n][8+13n][33+51n][43+66n][40+61n][23+35n][10+16n][33+50n][7+11n][15+24n][49+75n][38+58n][23+36n][47+71n][2+4n][35+54n][43+65n][3+6n][53+81n][37+56n][5+9n][53+80n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 55 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 80+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 80+83n. La série est alors :

1-80-9-56-81-6-65-54-4-71-36-58-75-24-11-50-16-35-61-66-51-13-44-34-64-57-78-15-38-52-10-53-7-62-63-60-69-42-40-46-28===82-3-74-27-2-77-18-29-79-12-47-25-8-59-72-33-67-48-22-17-32-70-39-49-19-26-5-68-45-31-73-30-76-21-20-23-14-41-43-37-55

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 55+83n.

Calculons 1/83 en base : 80, 163, 246, ...(80+83n) :

1/83 en base 80 = 0,0-77-8-53-78-5-62-52-3-68-34-55-72-23-10-48-15-33-58-63-49-12-42-32-61-54-75-14-36-50-9-51-6-59-60-57-66-40-38-44-26===79-2-71-26-1-74-17-27-76-11-45-24-7-56-69-31-64-46-21-16-30-67-37-47-18-25-4-65-43-29-70-28-73-20-19-22-13-39-41-35-53...

1/83 en base 163 = 0,1-157-17-109-159-11-127-106-7-139-70-113-147-47-21-98-31-68-119-129-100-25-86-66-125-111-153-29-74-102-19-104-13-121-123-117-135-82-78-90-54===161-5-145-53-3-151-35-56-155-23-92-49-15-115-141-64-131-94-43-33-62-137-76-96-37-51-9-133-88-60-143-58-149-41-39-45-27-80-84-72-108...

1/83 en base 246 = 0,2-237-26-165-240-17-192-160-11-210-106-171-222-71-32-148-47-103-180-195-151-38-130-100-189-168-231-44-112-154-29-157-20-183-186-177-204-124-118-136-82===243-8-219-80-5-228-53-85-234-35-139-74-23-174-213-97-198-142-65-50-94-207-115-145-56-77-14-201-133-91-216-88-225-62-59-68-41-121-127-109-163...

Et de manière générale en base 80+83n :

[n][77+80n][8+9n][53+56n][78+81n][5+6n][62+65n][52+54n][3+4n][68+71n][34+36n][55+58n][72+75n][23+24n][10+11n][48+50n][15+16n][33+35n][58+61n][63+66n][49+51n][12+13n][42+44n][32+34n][61+64n][54+57n][75+78n][14+15n][36+38n][50+52n][9+10n][51+53n][6+7n][59+62n][60+63n][57+60n][66+69n][40+42n][38+40n][44+46n][26+28n]===[79+82n][2+3n][71+74n][26+27n][1+2n][74+77n][17+18n][27+29n][76+79n][11+12n][45+47n][24+25n][7+8n][56+59n][69+72n][31+33n][64+67n][46+48n][21+22n][16+17n][30+32n][67+70n][37+39n][47+49n][18+19n][25+26n][4+5n][65+68n][43+45n][29+31n][70+73n][28+30n][73+76n][20+21n][19+20n][22+23n][13+14n][39+41n][41+43n][35+37n][53+55n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 80 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 55+83n.

Constatons que 55x80 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83