Calcul de 1/83 en base 57+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 57+83n se regroupent elles en cette série ?

1-57-12-20-61-74-68-58-69-32-81-52-59-43-44-18-30-50-28-19-4-62-48-80-78-47-23-66-27-45-75-42-70-6-10-72-37-34-29-76-16===82-26-71-63-22-9-15-25-14-51-2-31-24-40-39-65-53-33-55-64-79-21-35-3-5-36-60-17-56-38-8-41-13-77-73-11-46-49-54-7-67

Calculons 1/83 en base 57+83n (57, 140, 223, ...) :

1/83 en base 57 = 0,0-39-8-13-41-50-46-39-47-21-55-35-40-29-30-12-20-34-19-13-2-42-32-54-53-32-15-45-18-30-51-28-48-4-6-49-25-23-19-52-10===56-17-48-43-15-6-10-17-9-35-1-21-16-27-26-44-36-22-37-43-54-14-24-2-3-24-41-11-38-26-5-28-8-52-50-7-31-33-37-4-46...

1/83 en base 140 = 0,1-96-20-33-102-124-114-97-116-53-136-87-99-72-74-30-50-84-47-32-6-104-80-134-131-79-38-111-45-75-126-70-118-10-16-121-62-57-48-128-26===138-43-119-106-37-15-25-42-23-86-3-52-40-67-65-109-89-55-92-107-133-35-59-5-8-60-101-28-94-64-13-69-21-129-123-18-77-82-91-11-113...

1/83 en base 223 = 0,2-153-32-53-163-198-182-155-185-85-217-139-158-115-118-48-80-134-75-51-10-166-128-214-209-126-61-177-72-120-201-112-188-16-26-193-99-91-77-204-42===220-69-190-169-59-24-40-67-37-137-5-83-64-107-104-174-142-88-147-171-212-56-94-8-13-96-161-45-150-102-21-110-34-206-196-29-123-131-145-18-180...

Et de manière générale en base 57+83n :

[n][39+57n][8+12n][13+20n][41+61n][50+74n][46+68n][39+58n][47+69n][21+32n][55+81n][35+52n][40+59n][29+43n][30+44n][12+18n][20+30n][34+50n][19+28n][13+19n][2+4n][42+62n][32+48n][54+80n][53+78n][32+47n][15+23n][45+66n][18+27n][30+45n][51+75n][28+42n][48+70n][4+6n][6+10n][49+72n][25+37n][23+34n][19+29n][52+76n][10+16n]===[56+82n][17+26n][48+71n][43+63n][15+22n][6+9n][10+15n][17+25n][9+14n][35+51n][1+2n][21+31n][16+24n][27+40n][26+39n][44+65n][36+53n][22+33n][37+55n][43+64n][54+79n][14+21n][24+35n][2+3n][3+5n][24+36n][41+60n][11+17n][38+56n][26+38n][5+8n][28+41n][8+13n][52+77n][50+73n][7+11n][31+46n][33+49n][37+54n][4+7n][46+67n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 57 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 67+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 67+83n. La série est alors :

1-67-7-54-49-46-11-73-77-13-41-8-38-56-17-60-36-5-3-35-21-79-64-55-33-53-65-39-40-24-31-2-51-14-25-15-9-22-63-71-26===82-16-76-29-34-37-72-10-6-70-42-75-45-27-66-23-47-78-80-48-62-4-19-28-50-30-18-44-43-59-52-81-32-69-58-68-74-61-20-12-57

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 57+83n.

Calculons 1/83 en base : 67, 150, 233, ...(67+83n) :

1/83 en base 67 = 0,0-54-5-43-39-37-8-58-62-10-33-6-30-45-13-48-29-4-2-28-16-63-51-44-26-42-52-31-32-19-25-1-41-11-20-12-7-17-50-57-20===66-12-61-23-27-29-58-8-4-56-33-60-36-21-53-18-37-62-64-38-50-3-15-22-40-24-14-35-34-47-41-65-25-55-46-54-59-49-16-9-46...

1/83 en base 150 = 0,1-121-12-97-88-83-19-131-139-23-74-14-68-101-30-108-65-9-5-63-37-142-115-99-59-95-117-70-72-43-56-3-92-25-45-27-16-39-113-128-46===148-28-137-52-61-66-130-18-10-126-75-135-81-48-119-41-84-140-144-86-112-7-34-50-90-54-32-79-77-106-93-146-57-124-104-122-133-110-36-21-103...

1/83 en base 233 = 0,2-188-19-151-137-129-30-204-216-36-115-22-106-157-47-168-101-14-8-98-58-221-179-154-92-148-182-109-112-67-87-5-143-39-70-42-25-61-176-199-72===230-44-213-81-95-103-202-28-16-196-117-210-126-75-185-64-131-218-224-134-174-11-53-78-140-84-50-123-120-165-145-227-89-193-162-190-207-171-56-33-160...

Et de manière générale en base 67+83n :

[n][54+67n][5+7n][43+54n][39+49n][37+46n][8+11n][58+73n][62+77n][10+13n][33+41n][6+8n][30+38n][45+56n][13+17n][48+60n][29+36n][4+5n][2+3n][28+35n][16+21n][63+79n][51+64n][44+55n][26+33n][42+53n][52+65n][31+39n][32+40n][19+24n][25+31n][1+2n][41+51n][11+14n][20+25n][12+15n][7+9n][17+22n][50+63n][57+71n][20+26n]===[66+82n][12+16n][61+76n][23+29n][27+34n][29+37n][58+72n][8+10n][4+6n][56+70n][33+42n][60+75n][36+45n][21+27n][53+66n][18+23n][37+47n][62+78n][64+80n][38+48n][50+62n][3+4n][15+19n][22+28n][40+50n][24+30n][14+18n][35+44n][34+43n][47+59n][41+52n][65+81n][25+32n][55+69n][46+58n][54+68n][59+74n][49+61n][16+20n][9+12n][46+57n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 67 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 57+83n.

Constatons que 57x67 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83