Calcul de 1/83 en base 58+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 58+83n se regroupent elles en cette série ?

1-58-44-62-27-72-26-14-65-35-38-46-12-32-30-80-75-34-63-2-33-5-41-54-61-52-28-47-70-76-9-24-64-60-77-67-68-43-4-66-10===82-25-39-21-56-11-57-69-18-48-45-37-71-51-53-3-8-49-20-81-50-78-42-29-22-31-55-36-13-7-74-59-19-23-6-16-15-40-79-17-73

Calculons 1/83 en base 58+83n (58, 141, 224, ...) :

1/83 en base 58 = 0,0-40-30-43-18-50-18-9-45-24-26-32-8-22-20-55-52-23-44-1-23-3-28-37-42-36-19-32-48-53-6-16-44-41-53-46-47-30-2-46-6===57-17-27-14-39-7-39-48-12-33-31-25-49-35-37-2-5-34-13-56-34-54-29-20-15-21-38-25-9-4-51-41-13-16-4-11-10-27-55-11-51...

1/83 en base 141 = 0,1-98-74-105-45-122-44-23-110-59-64-78-20-54-50-135-127-57-107-3-56-8-69-91-103-88-47-79-118-129-15-40-108-101-130-113-115-73-6-112-16===139-42-66-35-95-18-96-117-30-81-76-62-120-86-90-5-13-83-33-137-84-132-71-49-37-52-93-61-22-11-125-100-32-39-10-27-25-67-134-28-124...

1/83 en base 224 = 0,2-156-118-167-72-194-70-37-175-94-102-124-32-86-80-215-202-91-170-5-89-13-110-145-164-140-75-126-188-205-24-64-172-161-207-180-183-116-10-178-26===221-67-105-56-151-29-153-186-48-129-121-99-191-137-143-8-21-132-53-218-134-210-113-78-59-83-148-97-35-18-199-159-51-62-16-43-40-107-213-45-197...

Et de manière générale en base 58+83n :

[n][40+58n][30+44n][43+62n][18+27n][50+72n][18+26n][9+14n][45+65n][24+35n][26+38n][32+46n][8+12n][22+32n][20+30n][55+80n][52+75n][23+34n][44+63n][1+2n][23+33n][3+5n][28+41n][37+54n][42+61n][36+52n][19+28n][32+47n][48+70n][53+76n][6+9n][16+24n][44+64n][41+60n][53+77n][46+67n][47+68n][30+43n][2+4n][46+66n][6+10n]===[57+82n][17+25n][27+39n][14+21n][39+56n][7+11n][39+57n][48+69n][12+18n][33+48n][31+45n][25+37n][49+71n][35+51n][37+53n][2+3n][5+8n][34+49n][13+20n][56+81n][34+50n][54+78n][29+42n][20+29n][15+22n][21+31n][38+55n][25+36n][9+13n][4+7n][51+74n][41+59n][13+19n][16+23n][4+6n][11+16n][10+15n][27+40n][55+79n][11+17n][51+73n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 58 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 73+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 73+83n. La série est alors :

1-73-17-79-40-15-16-6-23-19-59-74-7-13-36-55-31-22-29-42-78-50-81-20-49-8-3-53-51-71-37-45-48-18-69-57-11-56-21-39-25===82-10-66-4-43-68-67-77-60-64-24-9-76-70-47-28-52-61-54-41-5-33-2-63-34-75-80-30-32-12-46-38-35-65-14-26-72-27-62-44-58

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 58+83n.

Calculons 1/83 en base : 73, 156, 239, ...(73+83n) :

1/83 en base 73 = 0,0-64-14-69-35-13-14-5-20-16-51-65-6-11-31-48-27-19-25-36-68-43-71-17-43-7-2-46-44-62-32-39-42-15-60-50-9-49-18-34-21===72-8-58-3-37-59-58-67-52-56-21-7-66-61-41-24-45-53-47-36-4-29-1-55-29-65-70-26-28-10-40-33-30-57-12-22-63-23-54-38-51...

1/83 en base 156 = 0,1-137-31-148-75-28-30-11-43-35-110-139-13-24-67-103-58-41-54-78-146-93-152-37-92-15-5-99-95-133-69-84-90-33-129-107-20-105-39-73-46===154-18-124-7-80-127-125-144-112-120-45-16-142-131-88-52-97-114-101-77-9-62-3-118-63-140-150-56-60-22-86-71-65-122-26-48-135-50-116-82-109...

1/83 en base 239 = 0,2-210-48-227-115-43-46-17-66-54-169-213-20-37-103-158-89-63-83-120-224-143-233-57-141-23-8-152-146-204-106-129-138-51-198-164-31-161-60-112-71===236-28-190-11-123-195-192-221-172-184-69-25-218-201-135-80-149-175-155-118-14-95-5-181-97-215-230-86-92-34-132-109-100-187-40-74-207-77-178-126-167...

Et de manière générale en base 73+83n :

[n][64+73n][14+17n][69+79n][35+40n][13+15n][14+16n][5+6n][20+23n][16+19n][51+59n][65+74n][6+7n][11+13n][31+36n][48+55n][27+31n][19+22n][25+29n][36+42n][68+78n][43+50n][71+81n][17+20n][43+49n][7+8n][2+3n][46+53n][44+51n][62+71n][32+37n][39+45n][42+48n][15+18n][60+69n][50+57n][9+11n][49+56n][18+21n][34+39n][21+25n]===[72+82n][8+10n][58+66n][3+4n][37+43n][59+68n][58+67n][67+77n][52+60n][56+64n][21+24n][7+9n][66+76n][61+70n][41+47n][24+28n][45+52n][53+61n][47+54n][36+41n][4+5n][29+33n][1+2n][55+63n][29+34n][65+75n][70+80n][26+30n][28+32n][10+12n][40+46n][33+38n][30+35n][57+65n][12+14n][22+26n][63+72n][23+27n][54+62n][38+44n][51+58n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 73 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 58+83n.

Constatons que 58x73 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83