Calcul de 1/83 en base 62+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 62+83n se regroupent elles en cette série ?

1-62-26-35-12-80-63-5-61-47-9-60-68-66-25-56-69-45-51-8-81-42-31-13-59-6-40-73-44-72-65-46-30-34-33-54-28-76-64-67-4===82-21-57-48-71-3-20-78-22-36-74-23-15-17-58-27-14-38-32-75-2-41-52-70-24-77-43-10-39-11-18-37-53-49-50-29-55-7-19-16-79

Calculons 1/83 en base 62+83n (62, 145, 228, ...) :

1/83 en base 62 = 0,0-46-19-26-8-59-47-3-45-35-6-44-50-49-18-41-51-33-38-5-60-31-23-9-44-4-29-54-32-53-48-34-22-25-24-40-20-56-47-50-2===61-15-42-35-53-2-14-58-16-26-55-17-11-12-43-20-10-28-23-56-1-30-38-52-17-57-32-7-29-8-13-27-39-36-37-21-41-5-14-11-59...

1/83 en base 145 = 0,1-108-45-61-20-139-110-8-106-82-15-104-118-115-43-97-120-78-89-13-141-73-54-22-103-10-69-127-76-125-113-80-52-59-57-94-48-132-111-117-6===143-36-99-83-124-5-34-136-38-62-129-40-26-29-101-47-24-66-55-131-3-71-90-122-41-134-75-17-68-19-31-64-92-85-87-50-96-12-33-27-138...

1/83 en base 228 = 0,2-170-71-96-32-219-173-13-167-129-24-164-186-181-68-153-189-123-140-21-222-115-85-35-162-16-109-200-120-197-178-126-82-93-90-148-76-208-175-184-10===225-57-156-131-195-8-54-214-60-98-203-63-41-46-159-74-38-104-87-206-5-112-142-192-65-211-118-27-107-30-49-101-145-134-137-79-151-19-52-43-217...

Et de manière générale en base 62+83n :

[n][46+62n][19+26n][26+35n][8+12n][59+80n][47+63n][3+5n][45+61n][35+47n][6+9n][44+60n][50+68n][49+66n][18+25n][41+56n][51+69n][33+45n][38+51n][5+8n][60+81n][31+42n][23+31n][9+13n][44+59n][4+6n][29+40n][54+73n][32+44n][53+72n][48+65n][34+46n][22+30n][25+34n][24+33n][40+54n][20+28n][56+76n][47+64n][50+67n][2+4n]===[61+82n][15+21n][42+57n][35+48n][53+71n][2+3n][14+20n][58+78n][16+22n][26+36n][55+74n][17+23n][11+15n][12+17n][43+58n][20+27n][10+14n][28+38n][23+32n][56+75n][1+2n][30+41n][38+52n][52+70n][17+24n][57+77n][32+43n][7+10n][29+39n][8+11n][13+18n][27+37n][39+53n][36+49n][37+50n][21+29n][41+55n][5+7n][14+19n][11+16n][59+79n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 62 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 79+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 79+83n. La série est alors :

1-79-16-19-7-55-29-50-49-53-37-18-11-39-10-43-77-24-70-52-41-2-75-32-38-14-27-58-17-15-23-74-36-22-78-20-3-71-48-57-21===82-4-67-64-76-28-54-33-34-30-46-65-72-44-73-40-6-59-13-31-42-81-8-51-45-69-56-25-66-68-60-9-47-61-5-63-80-12-35-26-62

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 62+83n.

Calculons 1/83 en base : 79, 162, 245, ...(79+83n) :

1/83 en base 79 = 0,0-75-15-18-6-52-27-47-46-50-35-17-10-37-9-40-73-22-66-49-39-1-71-30-36-13-25-55-16-14-21-70-34-20-74-19-2-67-45-54-19===78-3-63-60-72-26-51-31-32-28-43-61-68-41-69-38-5-56-12-29-39-77-7-48-42-65-53-23-62-64-57-8-44-58-4-59-76-11-33-24-59...

1/83 en base 162 = 0,1-154-31-37-13-107-56-97-95-103-72-35-21-76-19-83-150-46-136-101-80-3-146-62-74-27-52-113-33-29-44-144-70-42-152-39-5-138-93-111-40===160-7-130-124-148-54-105-64-66-58-89-126-140-85-142-78-11-115-25-60-81-158-15-99-87-134-109-48-128-132-117-17-91-119-9-122-156-23-68-50-121...

1/83 en base 245 = 0,2-233-47-56-20-162-85-147-144-156-109-53-32-115-29-126-227-70-206-153-121-5-221-94-112-41-79-171-50-44-67-218-106-64-230-59-8-209-141-168-61===242-11-197-188-224-82-159-97-100-88-135-191-212-129-215-118-17-174-38-91-123-239-23-150-132-203-165-73-194-200-177-26-138-180-14-185-236-35-103-76-183...

Et de manière générale en base 79+83n :

[n][75+79n][15+16n][18+19n][6+7n][52+55n][27+29n][47+50n][46+49n][50+53n][35+37n][17+18n][10+11n][37+39n][9+10n][40+43n][73+77n][22+24n][66+70n][49+52n][39+41n][1+2n][71+75n][30+32n][36+38n][13+14n][25+27n][55+58n][16+17n][14+15n][21+23n][70+74n][34+36n][20+22n][74+78n][19+20n][2+3n][67+71n][45+48n][54+57n][19+21n]===[78+82n][3+4n][63+67n][60+64n][72+76n][26+28n][51+54n][31+33n][32+34n][28+30n][43+46n][61+65n][68+72n][41+44n][69+73n][38+40n][5+6n][56+59n][12+13n][29+31n][39+42n][77+81n][7+8n][48+51n][42+45n][65+69n][53+56n][23+25n][62+66n][64+68n][57+60n][8+9n][44+47n][58+61n][4+5n][59+63n][76+80n][11+12n][33+35n][24+26n][59+62n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 79 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 62+83n.

Constatons que 62x79 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83