Calcul de 1/83 en base 71+83n.

Pourquoi les périodes de n/83 en base 71+83n se regroupent elles en cette série ?

1-71-61-15-69-2-59-39-30-55-4-35-78-60-27-8-70-73-37-54-16-57-63-74-25-32-31-43-65-50-64-62-3-47-17-45-41-6-11-34-7===82-12-22-68-14-81-24-44-53-28-79-48-5-23-56-75-13-10-46-29-67-26-20-9-58-51-52-40-18-33-19-21-80-36-66-38-42-77-72-49-76

Calculons 1/83 en base 71+83n (71, 154, 237, ...) :

1/83 en base 71 = 0,0-60-52-12-59-1-50-33-25-47-3-29-66-51-23-6-59-62-31-46-13-48-53-63-21-27-26-36-55-42-54-53-2-40-14-38-35-5-9-29-5===70-10-18-58-11-69-20-37-45-23-67-41-4-19-47-64-11-8-39-24-57-22-17-7-49-43-44-34-15-28-16-17-68-30-56-32-35-65-61-41-65...

1/83 en base 154 = 0,1-131-113-27-128-3-109-72-55-102-7-64-144-111-50-14-129-135-68-100-29-105-116-137-46-59-57-79-120-92-118-115-5-87-31-83-76-11-20-63-12===152-22-40-126-25-150-44-81-98-51-146-89-9-42-103-139-24-18-85-53-124-48-37-16-107-94-96-74-33-61-35-38-148-66-122-70-77-142-133-90-141...

1/83 en base 237 = 0,2-202-174-42-197-5-168-111-85-157-11-99-222-171-77-22-199-208-105-154-45-162-179-211-71-91-88-122-185-142-182-177-8-134-48-128-117-17-31-97-19===234-34-62-194-39-231-68-125-151-79-225-137-14-65-159-214-37-28-131-82-191-74-57-25-165-145-148-114-51-94-54-59-228-102-188-108-119-219-205-139-217...

Et de manière générale en base 71+83n :

[n][60+71n][52+61n][12+15n][59+69n][1+2n][50+59n][33+39n][25+30n][47+55n][3+4n][29+35n][66+78n][51+60n][23+27n][6+8n][59+70n][62+73n][31+37n][46+54n][13+16n][48+57n][53+63n][63+74n][21+25n][27+32n][26+31n][36+43n][55+65n][42+50n][54+64n][53+62n][2+3n][40+47n][14+17n][38+45n][35+41n][5+6n][9+11n][29+34n][5+7n]===[70+82n][10+12n][18+22n][58+68n][11+14n][69+81n][20+24n][37+44n][45+53n][23+28n][67+79n][41+48n][4+5n][19+23n][47+56n][64+75n][11+13n][8+10n][39+46n][24+29n][57+67n][22+26n][17+20n][7+9n][49+58n][43+51n][44+52n][34+40n][15+18n][28+33n][16+19n][17+21n][68+80n][30+36n][56+66n][32+38n][35+42n][65+77n][61+72n][41+49n][65+76n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 71 modulo 83

Calcul de 1/83 en base 76+83n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 76+83n. La série est alors :

1-76-49-72-77-42-38-66-36-80-21-19-33-18-40-52-51-58-9-20-26-67-29-46-10-13-75-56-23-5-48-79-28-53-44-24-81-14-68-22-12===82-7-34-11-6-41-45-17-47-3-62-64-50-65-43-31-32-25-74-63-57-16-54-37-73-70-8-27-60-78-35-4-55-30-39-59-2-69-15-61-71

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 71+83n.

Calculons 1/83 en base : 76, 159, 242, ...(76+83n) :

1/83 en base 76 = 0,0-69-44-65-70-38-34-60-32-73-19-17-30-16-36-47-46-53-8-18-23-61-26-42-9-11-68-51-21-4-43-72-25-48-40-21-74-12-62-20-10===75-6-31-10-5-37-41-15-43-2-56-58-45-59-39-28-29-22-67-57-52-14-49-33-66-64-7-24-54-71-32-3-50-27-35-54-1-63-13-55-65...

1/83 en base 159 = 0,1-145-93-137-147-80-72-126-68-153-40-36-63-34-76-99-97-111-17-38-49-128-55-88-19-24-143-107-44-9-91-151-53-101-84-45-155-26-130-42-22===157-13-65-21-11-78-86-32-90-5-118-122-95-124-82-59-61-47-141-120-109-30-103-70-139-134-15-51-114-149-67-7-105-57-74-113-3-132-28-116-136...

1/83 en base 242 = 0,2-221-142-209-224-122-110-192-104-233-61-55-96-52-116-151-148-169-26-58-75-195-84-134-29-37-218-163-67-14-139-230-81-154-128-69-236-40-198-64-34===239-20-99-32-17-119-131-49-137-8-180-186-145-189-125-90-93-72-215-183-166-46-157-107-212-204-23-78-174-227-102-11-160-87-113-172-5-201-43-177-207...

Et de manière générale en base 76+83n :

[n][69+76n][44+49n][65+72n][70+77n][38+42n][34+38n][60+66n][32+36n][73+80n][19+21n][17+19n][30+33n][16+18n][36+40n][47+52n][46+51n][53+58n][8+9n][18+20n][23+26n][61+67n][26+29n][42+46n][9+10n][11+13n][68+75n][51+56n][21+23n][4+5n][43+48n][72+79n][25+28n][48+53n][40+44n][21+24n][74+81n][12+14n][62+68n][20+22n][10+12n]===[75+82n][6+7n][31+34n][10+11n][5+6n][37+41n][41+45n][15+17n][43+47n][2+3n][56+62n][58+64n][45+50n][59+65n][39+43n][28+31n][29+32n][22+25n][67+74n][57+63n][52+57n][14+16n][49+54n][33+37n][66+73n][64+70n][7+8n][24+27n][54+60n][71+78n][32+35n][3+4n][50+55n][27+30n][35+39n][54+59n][1+2n][63+69n][13+15n][55+61n][65+71n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 76 modulo 83

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 71+83n.

Constatons que 71x76 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83